المفاهيم الأساسية
ワッサーシュタイン勾配流を用いて、フレッドホルム第二種積分方程式の正則化された解を求める手法を提案する。
الملخص
本論文では、フレッドホルム第二種積分方程式の解法として、ワッサーシュタイン勾配流を用いる手法を提案している。
まず、正則化された目的関数を定義し、その最小化問題を考える。この目的関数は、積分方程式の解に対するKullback-Leibler divergenceと、参照分布に対するKullback-Leibler divergenceの和で構成される。
次に、この目的関数のワッサーシュタイン勾配流を導出し、対応するMcKean-Vlasov型確率微分方程式を導出する。この確率微分方程式の定常分布が、積分方程式の正則化された解に対応する。
さらに、この確率微分方程式を粒子系によって近似し、離散時間スキームを提案する。理論的な誤差解析を行い、粒子数と時間離散化ステップの選択に関するガイドラインを示す。
最後に、いくつかの数値実験を通して、提案手法の有効性を示している。特に、従来手法では扱いが困難な無限領域上の問題に対しても、良好な結果が得られることを確認している。
الإحصائيات
正則化された目的関数Fαは、KL(π|φ+λ∫k(x,y)π(y)dy) + αKL(π|π0)で定義される。
対応するMcKean-Vlasov型確率微分方程式のドリフトは、∫bη(x,z,πt)dπt(z) - α∇U(x)で表される。
提案手法の誤差は、c1(T)√(N) + c2(T)√γで抑えられる。
اقتباسات
"フレッドホルム第二種積分方程式の解法として、ワッサーシュタイン勾配流を用いる手法を提案する。"
"提案手法は、従来手法では扱いが困難な無限領域上の問題に対しても、良好な結果が得られる。"