Conceitos Básicos
本論文では、滑らかな関数の自己相似集上の積分を高次の補間型キュバチャー公式を用いて近似する手法を提案する。キュバチャー重みの計算が主な困難点であり、積分の自己相似性を利用して代数的に特徴付けている。h版とp版のキュバチャーを提案し、誤差解析と数値実験を行う。
Resumo
本論文では、自己相似集上の滑らかな関数の積分を高次の補間型キュバチャー公式を用いて近似する手法を提案している。
主な内容は以下の通り:
自己相似集の幾何学と不変測度の概念を導入する。自己相似集は反復関数システム(IFS)によって定義され、不変測度はIFSの不変性から構成される。
自己相似集上の多項式空間に対するRuelle演算子の性質を調べる。特に、S-不変な多項式空間の場合、Ruelle演算子の固有値構造を明らかにする。
S-不変な多項式空間に基づくキュバチャー公式の代数的な定義を与え、その重みが固有ベクトルとして特徴付けられることを示す。これにより、キュバチャー重みの計算が代数的に行えることが分かる。
S-不変でない多項式空間の場合、上記の代数的手法は適用できないため、別の定義を提案する。この場合、キュバチャー公式は多項式空間全体を正確に積分するわけではないが、最大のS-不変部分空間については正確に積分することを示す。
h版とp版のキュバチャー公式を提案し、誤差解析と数値実験を行う。
本手法は、フラクタル境界による波動散乱問題など、フラクタル集合上の積分を必要とする問題への応用が期待される。
Estatísticas
自己相似集の定義式の中で、各写像Sℓの縮小率ρℓは以下の条件を満たす:
|Sℓ(x) - Sℓ(y)|2 ≤ ρℓ|x - y|2, for all x, y ∈ Rn
Ruelle演算子Fの固有値λは以下の条件を満たす:
σ(F^P) \ {1} ⊂ ∪_{1 ≤ m ≤ k} σ(F^{m,m})
ここで、kは最小の整数でPkを含むようなものである。各σ(F^{m,m})は原点を中心とした小さな円盤内に含まれる。
Citações
"本論文では、フラクタル境界による波動散乱問題など、フラクタル集合上の積分を必要とする問題への応用が期待される。"