Conceitos Básicos
量子回路を用いて、高次元コロボフ関数空間の関数を任意の精度で近似することができる。
Resumo
本論文では、高次元コロボフ関数空間の関数を任意の精度で近似する量子回路の構築と、その複雑度の解析を行っている。
まず、1次元のチェビシェフ多項式を用いて、1次元コロボフ関数を近似する量子回路を構築する。次に、これを多次元に拡張し、多次元コロボフ関数を近似する量子回路を提案する。
具体的には、量子信号処理アルゴリズムとユニタリ演算の線形結合の手法を用いて、チェビシェフ多項式を実装する量子回路を構築する。これにより、コロボフ関数空間の関数を任意の精度で近似できる量子回路を得ることができる。
さらに、量子回路の深さと幅の複雑度を解析し、ε-近似を実現するために必要な量子回路の深さと幅を明示的に与えている。
本研究は、高次元偏微分方程式の解を量子コンピュータ上で効率的に近似するための理論的基盤を提供するものである。
Estatísticas
コロボフ関数空間X2,p([0,1]d)の関数f(x)は、次のように表現できる:
f(x) = Σℓ Σi∈Iℓ vℓ,iφℓ,i(x)
係数vℓ,iの上界は次のように与えられる:
p=2の場合: |vℓ,i| ≤ 2^(-d-2|ℓ|1) |f|2,p
p=∞の場合: |vℓ,i| ≤ 2^(-d) * (2/3)^(d/2) * 2^(-(3/2)*||ℓ||1) * |f|2,∞
Citações
"コロボフ関数空間は高次元問題に適しており、疎格子分解と互換性がある。"
"コロボフ関数空間は、様々な高次元偏微分方程式の解を研究する際に普遍的に現れるソボレフ空間の部分空間である。"