Doppelt schief-zyklische Codes über Fq + vFq

Conceitos Básicos

In dieser Studie konzentrieren wir uns darauf, bessere Codes zu erhalten, indem wir doppelt schief-zyklische Codes über den Ring R = Fq + vFq, v2 = v, wo q eine Primzahlpotenz ist, untersuchen.

Resumo

Die Studie untersucht die Generatorpolynome, minimalen Erzeugendensysteme, Generatormatrizen und die Dualcodes über dem Ring R. Als Umsetzung werden die erhaltenen Ergebnisse mit einigen guten Beispielen illustriert. Darüber hinaus führen wir eine Konstruktion für neue Generatormatrizen ein und erreichen so Codes mit besseren Parametern als die bisher in der Literatur bekannten Codes. Schließlich tabellierten wir doppelt schief-zyklische Codes der Blocklänge über dem Ring R.

Estatísticas

Fq ist der endliche Körper mit q Elementen, wobei q eine Primzahlpotenz ist.
R = Fq + vFq = {a + vb|a, b ∈Fq} mit v2 = v ist ein nicht-Ketten-Ring mit zwei maximalen Idealen ⟨v⟩und ⟨1-v⟩.
Der Frobenius-Automorphismus von Fq ist die Funktion ζ: Fq →Fq, definiert durch ζ(a) = ap, wobei p eine Primzahl ist.
Der Automorphismus θ von R ist definiert durch a + vb 7→ api + vbpi.

Citações

"In dieser Studie konzentrieren wir uns darauf, bessere Codes zu erhalten, indem wir doppelt schief-zyklische Codes über den Ring R = Fq + vFq, v2 = v, wo q eine Primzahlpotenz ist, untersuchen."
"Wir führen eine Konstruktion für neue Generatormatrizen ein und erreichen so Codes mit besseren Parametern als die bisher in der Literatur bekannten Codes."

Principais Insights Extraídos De

Double skew cyclic codes over $\mathbb{F}_q+v\mathbb{F}_q$

by Ashutosh Sin... às arxiv.org 03-26-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.16833.pdf

Perguntas Mais Profundas

Wie können die erhaltenen Ergebnisse auf andere Ringstrukturen erweitert werden, um noch bessere Codes zu erzielen

Die erhaltenen Ergebnisse können auf andere Ringstrukturen erweitert werden, indem man ähnliche algebraische Eigenschaften und Konzepte auf verschiedene Ringarten anwendet. Zum Beispiel könnten die Konzepte der Generatorpolynome, minimalen Erzeugendensets und Generatormatrizen auf andere nicht-kommutative Ringe oder sogar auf algebraische Strukturen außerhalb von Ringen angewendet werden. Durch die Anpassung der Theorien und Konstruktionen auf verschiedene algebraische Systeme können möglicherweise noch bessere Codes erzielt werden. Es ist wichtig, die spezifischen Eigenschaften und Strukturen der neuen Ringe zu berücksichtigen, um die Ergebnisse zu optimieren.

Welche Anwendungen finden doppelt schief-zyklische Codes in der Praxis und wie können diese Erkenntnisse dort eingesetzt werden

Doppelt schief-zyklische Codes finden in der Praxis in verschiedenen Anwendungen der Codierungstheorie Anwendung. Ein Beispiel ist die Datenübertragung in drahtlosen Kommunikationssystemen, bei der Fehlerkorrekturcodes wie zyklische Codes eingesetzt werden, um Daten zuverlässig zu übertragen. Durch die Verwendung von doppelt schief-zyklischen Codes können effizientere und fehlertolerante Codierungssysteme entwickelt werden. Diese Erkenntnisse können auch in der Speicherung von Daten, der Kryptographie und anderen Bereichen der Informationstheorie eingesetzt werden. Durch die Optimierung der Codes gemäß den spezifischen Anforderungen der Anwendung können die Vorteile doppelt schief-zyklischer Codes voll ausgeschöpft werden.

Welche Verbindungen bestehen zwischen den Eigenschaften doppelt schief-zyklischer Codes und anderen Gebieten der Mathematik wie der Algebra oder der Kombinatorik

Die Eigenschaften doppelt schief-zyklischer Codes haben Verbindungen zu verschiedenen Bereichen der Mathematik, insbesondere zur Algebra und Kombinatorik. In der Algebra können die algebraischen Strukturen und Operationen, die bei der Konstruktion und Analyse dieser Codes verwendet werden, tiefergehend untersucht werden. Die Verwendung von Ringen, Modulen und Homomorphismen in der Codierungstheorie zeigt die enge Verbindung zur abstrakten Algebra. In der Kombinatorik können die Eigenschaften von Codes in Bezug auf ihre minimalen Erzeugendensets, Dualcodes und Generatorpolynome als kombinatorische Strukturen betrachtet werden. Die Analyse der Codes aus kombinatorischer Sicht kann zu neuen Erkenntnissen über deren Struktur und Effizienz führen. Durch die Untersuchung dieser Verbindungen können mathematische Konzepte und Techniken aus verschiedenen Bereichen genutzt werden, um das Verständnis und die Anwendung doppelt schief-zyklischer Codes weiter zu vertiefen.