Optimale lokale Tests für unitär invariante Eigenschaften bipartiter Quantenzustände

Conceitos Básicos

Für Eigenschaften bipartiter Reiner Zustände impliziert die Unitär-Invarianz auf einem Teil die Existenz eines optimalen lokalen Tests auf dem anderen Teil.

Resumo

Der Artikel untersucht die Leistungsfähigkeit lokaler Tests für bipartite Quantenzustände. Das zentrale Ergebnis ist, dass für Eigenschaften bipartiter Reiner Zustände die Unitär-Invarianz auf einem Teil einen optimalen (über alle globalen Tester) lokalen Tester auf dem anderen Teil impliziert. Dies legt einen kanonischen lokalen Tester für Verschränkungsspektren nahe und zeigt, dass aufgereinigte Proben keinen Vorteil beim Testen von Eigenschaften gemischter Zustände bieten.

Als Anwendungen lösen wir zwei offene Fragen aus dem Überblicksartikel von Montanaro und de Wolf (2016), indem wir:

• Eine passende untere Schranke Ω(1/ε2) für das Testen, ob ein multipartiter Reiner Zustand Produkt oder ε-weit entfernt ist, liefern, was zeigt, dass der Algorithmus von Harrow und Montanaro (2010) optimal ist, sogar für bipartite Zustände.
• Die erste nichttriviale untere Schranke Ω(r/ε) für das Testen, ob der Schmidt-Rang eines bipartiten Reinen Zustands höchstens r oder ε-weit entfernt ist, angeben.

Wir zeigen auch andere neue Proben-Untergrenzen, z.B.:

• Eine passende untere Schranke Ω(d/ε2) für das Testen, ob ein d-dimensionaler bipartiter Reiner Zustand maximal verschränkt oder ε-weit entfernt ist, was zeigt, dass der Algorithmus von O'Donnell und Wright (2015) für diese Aufgabe optimal ist.

Über die Proben-Komplexität hinaus tragen wir auch neue Quantenabfrage-Untergrenzen bei:

• Eine Abfrage-Untergrenze e
  Ω(
  p
  d/∆) für das d-dimensionale Verschränkungsentropie-Problem mit Lücke ∆, was die bisherigen besten Untergrenzen Ω(
  4
  √
  d) von She und Yuen (2023) und e
  Ω(1/
  √
  ∆) von Wang und Zhang (2023) sowie Weggemans (2024) verbessert.

Darüber hinaus kann unser zentrales Ergebnis erweitert werden, wenn der getestete Zustand gemischt ist: Dann ist ein einseitiger LOCC-Test ausreichend, um den optimalen Tester zu realisieren.

Estatísticas

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Citações

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Principais Insights Extraídos De

Local Test for Unitarily Invariant Properties of Bipartite Quantum States

by Kean Chen,Qi... às arxiv.org 04-09-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.04599.pdf

Perguntas Mais Profundas

Wie kann die Bedingung der Unitär-Invarianz auf einem Teil in Theorem 1.1 abgeschwächt werden, ohne die Optimalität des lokalen Testers zu verlieren

Um die Bedingung der Unitär-Invarianz auf einem Teil in Theorem 1.1 abzuschwächen, ohne die Optimalität des lokalen Testers zu verlieren, könnte man eine weniger restriktive Formulierung der Invarianz einführen. Statt zu verlangen, dass die Eigenschaft auf einem Teil des bipartiten reinen Zustands genau unitär invariant ist, könnte man eine schwächere Formulierung verwenden, die eine gewisse Toleranz für Variationen unter Unitärtransformationen zulässt. Dies würde es ermöglichen, eine größere Klasse von Eigenschaften zu berücksichtigen, die immer noch von einem lokalen Tester effizient überprüft werden können, ohne die optimale Sample-Komplexität zu beeinträchtigen.

Gibt es andere Eigenschaften gemischter Quantenzustände, für die aufgereinigte Proben einen Vorteil beim Testen bieten könnten

Eine andere Eigenschaft gemischter Quantenzustände, für die aufgereinigte Proben einen Vorteil beim Testen bieten könnten, ist die Purity-Testing. Durch die Verwendung von purifizierten Proben kann man möglicherweise die Reinheit eines gemischten Zustands effizienter überprüfen, da die purifizierten Proben zusätzliche Informationen über den reinen Zustand enthalten, von dem der gemischte Zustand abgeleitet wurde. Dies könnte es ermöglichen, subtilere Unterschiede zwischen gemischten Zuständen zu erkennen und somit die Genauigkeit des Tests zu verbessern.

Wie können die in Corollary 1.5 gegebenen unteren Schranken für das Testen des Schmidt-Rangs weiter verbessert werden

Um die in Corollary 1.5 gegebenen unteren Schranken für das Testen des Schmidt-Rangs weiter zu verbessern, könnte man verschiedene Ansätze verfolgen. Eine Möglichkeit wäre die Verfeinerung der Analyse der Komplexität des Problems, um spezifischere Bedingungen zu identifizieren, die zu strengeren unteren Schranken führen. Darüber hinaus könnte man alternative Methoden zur Reduzierung des Problems auf bekannte Probleme in der Quanteninformationstheorie untersuchen, um möglicherweise neue Techniken zur Bestimmung der unteren Schranken zu entwickeln. Durch eine tiefere Untersuchung der Struktur des Problems und die Anwendung fortgeschrittener mathematischer Methoden könnte es möglich sein, die unteren Schranken für das Testen des Schmidt-Rangs weiter zu optimieren.