Optimale und superkonvergente Fehlerabschätzungen für die div-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode bei elliptischen Problemen

Kernekoncepter

In dieser Arbeit präsentieren wir eine vollständige Fehleranalyse für die div-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode bei elliptischen Problemen, die die aktuellen Ergebnisse verbessert. Die Fehlerabschätzungen für die skalare und die Flussvariable werden durch Dualargumente hergeleitet, wobei in den meisten Fällen nur eine H1+ε-Regularität verwendet wird. Numerische Experimente bestätigen unsere Analyse.

Resumé

In dieser Arbeit wird die Fehleranalyse für die div-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode (div-LSFEM) bei elliptischen Problemen untersucht.

Zunächst wird das Modellproblem eingeführt und in ein Ersterordnungssystem umformuliert. Dann wird die div-LSFEM für dieses System beschrieben.

Anschließend werden primäre Fehlerabschätzungen in der Energienorm hergeleitet, indem Projektionen auf geeignete Finite-Elemente-Räume verwendet werden. Diese Abschätzungen bilden die Grundlage für die weitere Analyse.

Im Hauptteil der Arbeit werden dann durch Dualargumente verbesserte Fehlerabschätzungen, insbesondere Superkonvergenzresultate, für verschiedene Kombinationen der Finite-Elemente-Räume für die skalare und Flussvariable hergeleitet. Dabei wird in den meisten Fällen nur eine H1+ε-Regularität benötigt, was eine Verbesserung gegenüber bisherigen Arbeiten darstellt.

Abschließend werden numerische Experimente präsentiert, die die theoretischen Ergebnisse bestätigen.

Statistik

Die folgenden Sätze enthalten wichtige Kennzahlen oder Zahlen, die die Argumentation des Autors unterstützen:
"∥u −uh∥1 + ∥q −qh∥0 + ∥∇· (q −qh)∥0 ≤Chs(∥u∥s+1 + ∥q∥s+1)"
"∥u −uh∥1 + ∥q −qh∥0 + ∥∇· (q −qh)∥0 ≤C(hm∥u∥m+1 + hk∥q∥k+1)"
"∥u −uh∥0 ≤C(hm+1∥u∥m+1 + hk+1∥q∥k+1)"
"∥q −qh∥0 ≤C(hm+1∥u∥m+1 + hk∥q∥k+1) für RT k−1/Pm, (hm+1∥u∥m+1 + hk+1∥q∥k+1) für BDMk/Pm"
"∥q −qh∥0 ≤Chk+1(∥u∥k+1 + ∥q∥k+1) für BDMk/Pk"
"∥u −uh∥1 + ∥q −qh∥0 + ∥∇· (q −qh)∥≤Chk+1(∥u∥k+2 + ∥q∥k+1 + ∥∇· q∥k+1)"
"∥u −uh∥0 ≤Chk+2(∥u∥k+2 + ∥q∥k+1 + ∥∇· q∥k+1)"
"∥u −uh∥1 + ∥q −qh∥0 ≤Ch(∥u∥2 + ∥q∥1) ≤Ch∥f∥0"

Citater

"∥u −uh∥0 + ∥q −qh∥0 ≤Chk+1(∥u∥k+1 + ∥q∥k+1)"
"∥∇(ΠVhu −uh)∥0 + ∥∇· (ΠPhq −qh)∥0 ≤Chk+1(∥u∥k+1 + ∥q∥k+1)"
"∥u −uh∥0 ≤Chm+1(∥u∥m+1 + ∥q∥m)"
"∥q −qh∥0 ≤Chk+1(∥u∥k+2 + ∥q∥k+1)"
"∥∇· (ΠPhq −qh)∥0 ≤Chk+1(∥u∥k+2 + ∥q∥k+1)"
"∥∇· (ΠPhq −qh)∥0 ≤Chk+2(∥u∥k+2 + ∥∇· q∥k+1 + ∥q∥k+1)"
"∥∇· (ΠPhq −qh)∥0 ≤Ch2(∥u∥2 + ∥∇· q∥1 + ∥q∥1)"
"∥u −uh∥0 ≤Chm+1(∥u∥m+1 + ∥q∥m+2)"

Vigtigste indsigter udtrukket fra

Superconvergence error estimates for the div least-squares finite element method on elliptic problems

by Gang Chen,Fa... kl. arxiv.org 04-09-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.04918.pdf

Dybere Forespørgsler

Wie lassen sich die Ergebnisse auf andere partielle Differentialgleichungen übertragen, die nicht notwendigerweise elliptisch sind

Die Ergebnisse können auf andere partielle Differentialgleichungen übertragen werden, indem ähnliche Techniken und Methoden angewendet werden. Auch wenn die vorliegende Studie sich auf elliptische Probleme konzentriert, können die Fehlerabschätzungen und Superkonvergenzresultate auf andere Arten von partiellen Differentialgleichungen angewendet werden. Es ist wichtig, die spezifischen Eigenschaften der jeweiligen Gleichung zu berücksichtigen und die entsprechenden Regularitätsbedingungen anzupassen, um die Ergebnisse erfolgreich zu übertragen.

Welche Auswirkungen haben andere Randbedingungen, wie z.B. gemischte Randbedingungen, auf die Fehlerabschätzungen

Die Randbedingungen, insbesondere gemischte Randbedingungen, können signifikante Auswirkungen auf die Fehlerabschätzungen haben. Bei gemischten Randbedingungen müssen zusätzliche Regularitätsbedingungen und Randbedingungen in die Analyse einbezogen werden, um genaue Fehlerabschätzungen zu erhalten. Die Wahl der Randbedingungen kann die Konvergenzraten und die Genauigkeit der numerischen Lösungen beeinflussen. Es ist wichtig, die Randbedingungen sorgfältig zu berücksichtigen und entsprechende Anpassungen an den Fehlerabschätzungen vorzunehmen.

Wie können die Superkonvergenzresultate genutzt werden, um effizientere numerische Verfahren zu entwickeln

Die Superkonvergenzresultate können genutzt werden, um effizientere numerische Verfahren zu entwickeln, die genauere Lösungen mit weniger Rechenaufwand liefern. Durch die Ausnutzung der überlegenen Konvergenzeigenschaften können numerische Algorithmen optimiert und verfeinert werden. Zum Beispiel können adaptive Mesh-Verfeinerungstechniken basierend auf den Superkonvergenzresultaten entwickelt werden, um die Genauigkeit der Lösungen zu verbessern und den Ressourcenverbrauch zu minimieren. Darüber hinaus können die Superkonvergenzresultate als Qualitätsmaßstab für numerische Verfahren dienen und bei der Entwicklung neuer effizienter Algorithmen eine wichtige Rolle spielen.