有限群の位数列に関する2つの問題について

Kernkonzepte

有限群の位数列は、その群の可解性や超可解性を常に反映するわけではない。

Zusammenfassung

この論文は、有限群の位数列に関するCameronとDeyの論文[5]で提起された2つの未解決問題を扱い、その性質について考察しています。

問題設定と背景

有限群Gの位数列os(G)とは、Gの各元の位数を小さい順に並べた数列です。CameronとDeyは、位数列の優越関係や、群の性質との関連性について研究し、いくつかの問題を提起しました。例えば、位数nの非可解群が存在する場合、任意の位数nの可解群の位数列が、その非可解群の位数列よりも常に優越するかどうかという問題があります。

主要な結果

本論文では、上記の可解性に関する問題に対して、反例を挙げ、位数列が群の可解性を常に反映するわけではないことを示しました。具体的には、位数nの非可解群として、ほぼ可解群であるものを用い、その位数列が、同じ位数の可解群の位数列よりも優越するケースを無限に多く構成しました。

さらに、超可解性についても同様の反例を構成し、位数列が群の超可解性を必ずしも反映しないことを示しました。

結論

これらの結果は、有限群の位数列が、その群の構造、特に可解性や超可解性と複雑に関係していることを示唆しています。位数列を用いて群の性質をどこまで特徴づけることができるのかは、今後の研究課題として残されています。

Statistiken

位数300, 420, 780, 900の非可解群は、それぞれ同型を除いて一意に定まる。
位数132, 280, 294の非超可解群は、それぞれ同型を除いて一意に定まる。
位数216には、位数列が等しい超可解群と非超可解群がそれぞれ3つと2つ存在する。

Zitate

Wichtige Erkenntnisse aus

On two problems about order sequences of finite groups

by Mihai-Silviu... um arxiv.org 11-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.10797.pdf

Tiefere Fragen

位数列が等しい有限群について、他にどのような性質が共通しているか、あるいは異なるか。

位数列が等しい有限群は、要素の位数の集合という限られた情報しか共有していないため、多くの性質が異なる可能性があります。共通する性質としては、以下のものがあげられます。

群の位数: 位数列は群の位数を決定するため、位数列が等しい群は同じ位数を持つ。
巡回性: 位数列が巡回群の位数列と一致する場合、その群は巡回群である。これは、位数列から群の要素の最大位数がわかり、それが群の位数と一致するためです。
一方、異なる可能性のある性質は以下の通りです。

可解性/超可解性: 本文で示されているように、位数列が等しくても、一方の群は可解群/超可解群で、もう一方はそうでない場合があります。
冪零性: 位数列が等しくても、冪零性は必ずしも一致しません。
可換性: 位数列が等しくても、可換性は必ずしも一致しません。例えば、３以上の素数pに対して、位数p^3の非可換群と可換群は同じ位数列を持ちます。
表現論的性質: 一般に、指標表や他の表現論的性質は、位数列が等しい群でも異なる可能性があります。
さらに、群の構造に関するより詳細な情報、例えば、正規部分群の構造、共役類の大きさ、自己同型群の構造なども、位数列が等しい群で異なる可能性があります。

位数列を用いて、群の可解性や超可解性以外の性質を特徴づけることは可能か。

位数列を用いて、群の可解性や超可解性以外の性質を特徴づけることは、ある程度可能ですが、限界もあります。
特徴づけられる可能性のある性質:

巡回性: 前述のように、位数列が巡回群の位数列と一致する場合、その群は巡回群です。
冪零性: 有限群Gが冪零群であることと、Gの位数列がGのシローp-部分群の位数列の積に等しいことが同値であるという結果があります。
単純性: 位数列を見ることで、群が単純群でないことを示唆できる場合があります。例えば、位数列に同じ素数の異なる冪乗が現れる場合、その群は単純群ではありません。
特徴づけることが難しい性質:

可換性: 位数列だけでは、群の可換性を完全に特徴付けることはできません。
中心の構造: 位数列から、群の中心の構造を決定することは一般に困難です。
自己同型群の構造: 位数列から、自己同型群の構造を決定することは一般に困難です。
一般的に、位数列は群の構造に関する限られた情報しか提供しないため、位数列だけから群の性質を完全に特徴付けることは難しいです。

位数列の概念を一般化し、群の他の構造的不変量と関連付けることはできるか。

位数列の概念を一般化し、群の他の構造的不変量と関連付けることは、興味深い研究テーマです。いくつかの可能性が考えられます。

共役類の大きさの列: 位数列の代わりに、共役類の大きさの列を考えることができます。これは、群の表現論や指標理論と密接に関係しています。
部分群の位数の集合: 位数列を拡張し、群のすべての部分群の位数の集合を考察することができます。これは、群の構造、特に部分群の構造に関するより多くの情報を提供します。
正規部分群の位数列: 正規部分群の位数列を分析することで、群の可解性や冪零性などの性質を調べることができます。
加群の位数列: 群の表現論において、加群の位数列を定義し、その性質を研究することができます。
これらの一般化された位数列を、群の他の構造的不変量、例えば、交換子群、中心化群、正規化群、導来列、フィッティング部分群などと関連付けることで、群の構造に関するより深い理解を得ることが期待できます。
さらに、グラフ理論や組合せ論などの他の数学分野における類似の概念との関連性を調べることも興味深いでしょう。例えば、位数列をグラフの次数列と比較したり、位数列を用いて群を分類するアルゴリズムを開発したりすることができます。