Erweiterte virtuelle Elementmethode für elliptische Probleme mit schwach singulären Lösungen

Kernkonzepte

Die Arbeit stellt eine neuartige erweiterte virtuelle Elementmethode (X-VEM) vor, die speziell für elliptische Probleme mit singulären Lösungen entwickelt wurde. Die Methode ermöglicht eine optimale Approximation auch bei Vorliegen von Singularitäten.

Zusammenfassung

Die Arbeit führt eine erweiterte virtuelle Elementmethode (X-VEM) ein, die eine Erweiterung der konformen virtuellen Elementmethode darstellt. Die X-VEM wird durch Einbinden geeigneter Anreicherungsfunktionen in die lokalen Räume formuliert. Die Methode ist so konzipiert, dass sie hochgradig generische Anreicherungsfunktionen, einschließlich Singularitäten aus gebrochenen Gebieten, handhaben kann. Durch Konsistenz im Anreicherungsraum wird gezeigt, dass die Methode beliebige Approximationsordnungen auch bei Vorliegen singulärer Lösungen erreicht.
Die Arbeit enthält eine vollständige Konvergenzanalyse unter allgemeinen Annahmen an die Netzregularität und numerische Experimente, die die Genauigkeit der Methode auf verschiedenen Netzfamilien bestätigen und optimale Konvergenzraten in der L2- und H1-Norm auf gebrochenen oder L-förmigen Gebieten demonstrieren.

Statistiken

Die Methode kann beliebige Approximationsordnungen auch bei Vorliegen singulärer Lösungen erreichen.
Numerische Experimente zeigen optimale Konvergenzraten in der L2- und H1-Norm auf gebrochenen oder L-förmigen Gebieten.

Zitate

"Die X-VEM ist so konzipiert, dass sie hochgradig generische Anreicherungsfunktionen, einschließlich Singularitäten aus gebrochenen Gebieten, handhaben kann."
"Durch Konsistenz im Anreicherungsraum wird gezeigt, dass die Methode beliebige Approximationsordnungen auch bei Vorliegen singulärer Lösungen erreicht."

Wichtige Erkenntnisse aus

The eXtended Virtual Element Method for elliptic problems with weakly singular solutions

by Jerome Droni... um arxiv.org 04-05-2024

https://arxiv.org/pdf/2402.02902.pdf

Tiefere Fragen

Wie lässt sich die X-VEM auf dreidimensionale Probleme erweitern und welche zusätzlichen Herausforderungen ergeben sich dabei

Die Erweiterung der X-VEM auf dreidimensionale Probleme erfordert eine Anpassung der lokalen Räume und der Interpolationsoperatoren auf Elementen und Kanten. Zusätzliche Herausforderungen ergeben sich durch die Komplexität der Geometrie und die höheren Anforderungen an die Rechenleistung. In 3D müssen die lokalen Räume und Interpolationsoperatoren entsprechend angepasst werden, um die singulären Lösungen und die allgemeine Anreicherung effektiv zu behandeln. Die Implementierung und Analyse in 3D erfordert eine sorgfältige Berücksichtigung der Regularität der Lösung und der Mesh-Struktur, um optimale Konvergenzeigenschaften sicherzustellen.

Wie kann die lokale Anreicherung in die Konvergenzanalyse einbezogen werden

Die lokale Anreicherung kann in die Konvergenzanalyse einbezogen werden, indem die Stabilität und Konsistenz der Methode auf den lokal angereicherten Räumen überprüft werden. Dies erfordert die Untersuchung der Interpolationsfehler und die Abschätzung der Konsistenzfehler für die singulären Funktionen. Durch die Berücksichtigung der lokalen Anreicherung in der Fehleranalyse kann die Konvergenzordnung der X-VEM auf unregelmäßigen Gebieten oder mit schwach singulären Lösungen genauer bestimmt werden. Die Einbeziehung der lokalen Anreicherung in die Konvergenzanalyse ermöglicht eine präzisere Bewertung der Approximationsqualität der Methode.

Welche anderen Anwendungsgebiete außer elliptischen Problemen könnten von der X-VEM profitieren

Neben elliptischen Problemen könnten auch andere Anwendungsgebiete von der X-VEM profitieren, insbesondere solche mit stark variierenden Lösungen oder singulären Stellen. Beispiele hierfür sind Strömungssimulationen in porösen Medien, Strukturmechanik mit Rissen oder Diskontinuitäten, und elektromagnetische Feldsimulationen in komplexen Geometrien. Die Flexibilität und Genauigkeit der X-VEM machen sie zu einer vielversprechenden Methode für eine Vielzahl von Anwendungen, bei denen herkömmliche Finite-Elemente-Methoden an ihre Grenzen stoßen.