自然特徵下的投射平滑表示

Q: 本文主要關注局部投射群，那麼對於更一般的拓撲群，例如非局部緊群，其平滑表示範疇中是否存在非零投射對象？

對於更一般的拓撲群，例如非局部緊群，其平滑表示範疇中是否存在非零投射對象是一個更為複雜的問題。本文的證明方法 heavily rely on 局部投射群的性質，特別是「公平性」條件，這個條件在非局部緊群中不一定成立。 舉例來說，考慮非局部緊群 $\mathbb{Z}$ 的平滑表示。由於 $\mathbb{Z}$ 是離散群，其平滑表示等價於一般的群表示。而 $\mathbb{Z}$ 的群代數 $\mathbb{F}[\mathbb{Z}]$ 本身就是一個非零投射 $\mathbb{F}[\mathbb{Z}]$-模，因此在 $\mathbb{Z}$ 的平滑表示範疇中存在非零投射對象。 對於更一般的非局部緊群，需要發展新的方法來研究其平滑表示範疇中的投射對象。

Q: 文中證明了「公平群」不存在非零投射對象，那麼是否存在其他條件可以保證平滑表示範疇中存在非零投射對象？

是的，存在其他條件可以保證平滑表示範疇中存在非零投射對象。 群的階數與特徵: 如 Proposition 2.3 所述，對於 pro-finite 群 $K$，如果 $p$ 的無窮次方不整除 $|K|$，那麼平滑表示範疇 $\text{Mod}_F(K)$ 中存在非零投射對象。 緊群: 對於緊群 $G$，根據 Proposition 6.2，對於任意開子群 $U$，平滑表示範疇 $\text{Mod}_F(G)$ 關於 $EU$ 結構是 Frobenius category，因此具有足夠多的投射對象和內射對象。 需要注意的是，這些條件與「公平性」條件並不互斥。例如，一個緊群可以同時滿足「公平性」條件和上述第一個條件。

Q: 平滑表示論在數學的其他分支，例如數論和代數幾何，有哪些應用？研究平滑表示範疇中的投射對象對於這些應用有什麼啟示？

平滑表示論在數論和代數幾何中都有重要的應用，以下是一些例子： Langlands 綱領: 平滑表示論是 Langlands 綱領的核心組成部分，該綱領旨在將數論中的 Galois 表示與自守表示聯繫起來。例如，局部 Langlands 對應描述了 $p$ 進域上約化群的平滑表示與 Weil-Deligne 群的表示之間的關係。 自守形式與表示論: 自守形式可以通過群表示論的語言來理解，例如，古典模形式可以看作是 $\text{SL}_2(\mathbb{R})$ 的特定平滑表示。 代數群的表示論: 平滑表示論為研究代數群的表示提供了一個自然的框架，特別是在正特徵域上。 研究平滑表示範疇中的投射對象對於這些應用具有以下啟示： 理解表示範疇的結構: 投射對象是表示範疇中的基本構建塊，研究它們有助於我們更好地理解整個範疇的結構。 構造新的表示: 投射對象可以用於構造新的表示，例如通過誘導表示等方法。 研究表示的性質: 投射對象的性質可以幫助我們研究其他表示的性質，例如通過 Ext 群等工具。 總之，研究平滑表示範疇中的投射對象對於理解和應用平滑表示論至關重要。本文的結果表明，對於「公平群」而言，其平滑表示範疇中不存在非零投射對象，這為我們理解這些群的表示論提供了一個新的視角。

Conceptos Básicos

自然特徵域上的局部投射群的平滑表示範疇中，非零投射對象的存在性取決於群的結構，特別是對於滿足「公平性」條件的群（包括定義在非阿基米德局部域上的連通約簡群），不存在非零投射對象。

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標題： 自然特徵下的投射平滑表示
作者： AMIT OPHIR 和 CLAUS SORENSEN
研究目標： 本文旨在探討在自然特徵域 F 中，局部投射群 G 的非零投射平滑 F[G] 模組的存在條件。
方法： 作者引入了「公平群」的概念，並證明了對於這類群體，不存在非平凡的投射對象。他們分析了滿足特定條件的開子群，並利用模表示論中的誘導函子和同調代數工具證明了主要結果。
主要發現：

對於滿足「公平性」條件的局部投射群，其平滑表示範疇中不存在非零投射對象。
「公平群」包含了定義在非阿基米德局部域上的連通約簡群，推廣了先前僅針對有限擴張 F/Qp 的結果。
文章利用 Chabauty 空間中的判據闡明了「公平性」條件，並證明了一個群 G 是「公平群」當且僅當其閉包中不包含離散子群。
主要結論： 本文的研究結果揭示了自然特徵域上局部投射群的平滑表示範疇與有限群模表示論的顯著差異。非零投射對象的不存在性對於理解這些表示範疇的結構具有重要意義。
論文貢獻： 本文通過引入「公平群」的概念，將先前關於有限擴張 F/Qp 上的連通約簡群的結果推廣到更一般的局部投射群。此外，文章還提供了一個基於 Chabauty 空間的「公平性」條件的拓撲判據，為理解這些群體的結構提供了新的視角。
局限性和未來研究方向： 本文主要關注自然特徵域上的局部投射群。未來的研究方向可以探討其他類型的群體，例如非局部緊群或特徵零的域上的群體，是否存在類似的結果。此外，還可以進一步研究「公平性」條件的含義及其與其他群論性質的關係。

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Projective smooth representations in natural characteristic

by Amit Ophir, ... a las arxiv.org 11-21-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.12867.pdf

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本文主要關注局部投射群，那麼對於更一般的拓撲群，例如非局部緊群，其平滑表示範疇中是否存在非零投射對象？

對於更一般的拓撲群，例如非局部緊群，其平滑表示範疇中是否存在非零投射對象是一個更為複雜的問題。本文的證明方法 heavily rely on 局部投射群的性質，特別是「公平性」條件，這個條件在非局部緊群中不一定成立。
舉例來說，考慮非局部緊群 $\mathbb{Z}$ 的平滑表示。由於 $\mathbb{Z}$ 是離散群，其平滑表示等價於一般的群表示。而 $\mathbb{Z}$ 的群代數 $\mathbb{F}[\mathbb{Z}]$ 本身就是一個非零投射 $\mathbb{F}[\mathbb{Z}]$-模，因此在 $\mathbb{Z}$ 的平滑表示範疇中存在非零投射對象。
對於更一般的非局部緊群，需要發展新的方法來研究其平滑表示範疇中的投射對象。

文中證明了「公平群」不存在非零投射對象，那麼是否存在其他條件可以保證平滑表示範疇中存在非零投射對象？

是的，存在其他條件可以保證平滑表示範疇中存在非零投射對象。

群的階數與特徵:  如 Proposition 2.3 所述，對於 pro-finite 群 $K$，如果 $p$ 的無窮次方不整除 $|K|$，那麼平滑表示範疇 $\text{Mod}_F(K)$ 中存在非零投射對象。
緊群:  對於緊群 $G$，根據 Proposition 6.2，對於任意開子群 $U$，平滑表示範疇 $\text{Mod}_F(G)$ 關於 $EU$ 結構是 Frobenius category，因此具有足夠多的投射對象和內射對象。
需要注意的是，這些條件與「公平性」條件並不互斥。例如，一個緊群可以同時滿足「公平性」條件和上述第一個條件。

平滑表示論在數學的其他分支，例如數論和代數幾何，有哪些應用？研究平滑表示範疇中的投射對象對於這些應用有什麼啟示？

平滑表示論在數論和代數幾何中都有重要的應用，以下是一些例子：

Langlands 綱領: 平滑表示論是 Langlands 綱領的核心組成部分，該綱領旨在將數論中的 Galois 表示與自守表示聯繫起來。例如，局部 Langlands 對應描述了 $p$ 進域上約化群的平滑表示與 Weil-Deligne 群的表示之間的關係。
自守形式與表示論: 自守形式可以通過群表示論的語言來理解，例如，古典模形式可以看作是 $\text{SL}_2(\mathbb{R})$ 的特定平滑表示。
代數群的表示論: 平滑表示論為研究代數群的表示提供了一個自然的框架，特別是在正特徵域上。
研究平滑表示範疇中的投射對象對於這些應用具有以下啟示：

理解表示範疇的結構: 投射對象是表示範疇中的基本構建塊，研究它們有助於我們更好地理解整個範疇的結構。
構造新的表示: 投射對象可以用於構造新的表示，例如通過誘導表示等方法。
研究表示的性質: 投射對象的性質可以幫助我們研究其他表示的性質，例如通過 Ext 群等工具。
總之，研究平滑表示範疇中的投射對象對於理解和應用平滑表示論至關重要。本文的結果表明，對於「公平群」而言，其平滑表示範疇中不存在非零投射對象，這為我們理解這些群的表示論提供了一個新的視角。