在正則軌跡上，幾何 Satake 的色差現象

Conceptos Básicos

本文旨在探討在將係數從複數推廣至 K 理論和橢圓上同調後，推廣後的係數在正則軌跡上的幾何 Satake 等價性。

Resumen

在正則軌跡上，幾何 Satake 的色差現象

這篇研究論文探討了在將係數從複數推廣至 K 理論和橢圓上同調後，推廣後的係數在正則軌跡上的幾何 Satake 等價性。

研究在 K 理論和橢圓上同調係數下，正則軌跡上的幾何 Satake 等價性的類比現象。
探索這些等價關係的應用，例如與廣義等變同調的關係、冪運算與推廣的幾何 Satake 之間的交互作用，以及與 Brylinski-Zhang 工作的關聯性。

利用表示論、代數幾何和同倫理論的工具。
研究了 Tc-等變局部系統的 ∞-範疇，其中 Tc 是 Gc 中的最大環面。
研究了這些 ∞-範疇的 1-參數退化，並建立了與由 k 和計算 S1-等變 k-上同調的 1 維群概形相關聯的各種朗蘭茲對偶堆棧的幾何形狀構建的擬凝聚層的 ∞-範疇的等價性。

Ideas clave extraídas de

Chromatic aberrations of geometric Satake over the regular locus

by Sanath K. De... a las arxiv.org 11-14-2024

https://arxiv.org/pdf/2303.09432.pdf

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如何將這些結果推廣到非單連通的代數群？

推廣到非單連通代數群的主要障礙在於，非單連通群的仿射格拉斯曼式不再是單連通的。這意味著，我們不能再簡單地將局部系統等同於其在基點上的纖維（即向量空間）。
一種可能的解決方案是考慮仿射格拉斯曼式的萬有覆蓋空間。萬有覆蓋空間是單連通的，並且它帶有一個由基本群作用的自由且傳遞的作用。因此，我們可以將非單連通群的仿射格拉斯曼式上的局部系統等同於其萬有覆蓋空間上的局部系統，這些局部系統帶有基本群的等變作用。
例如，考慮代數群 $G = PGL_2$。它的基本群是 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。$PGL_2$ 的仿射格拉斯曼式的萬有覆蓋空間是 $SL_2$ 的仿射格拉斯曼式。因此，我們可以將 $PGL_2$ 的仿射格拉斯曼式上的局部系統等同於 $SL_2$ 的仿射格拉斯曼式上的局部系統，這些局部系統帶有 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 的等變作用。
這種方法可以推廣到更一般的非單連通代數群。然而，具體的細節會變得更加複雜，並且需要更深入地理解非單連通群的結構及其仿射格拉斯曼式的拓撲性質。

是否存在這些結果的算術版本，可以應用於數論？

目前，這些結果的算術版本還處於發展的早期階段。然而，有一些跡象表明，這些結果可能與數論有著深刻的聯繫。
一個可能的聯繫是通過朗蘭茲綱領。朗蘭茲綱領預測，伽羅瓦表示與自守表示之間存在著深刻的聯繫。幾何薩塔克等價可以看作是朗蘭茲綱領在函數域上的體現。因此，我們可以預期，這些結果的算術版本將與朗蘭茲綱領在數域上的體現有關。
例如，考慮代數群 $GL_n$。幾何薩塔克等價將 $GL_n$ 的仿射格拉斯曼式上的局部系統與 $GL_n$ 的朗蘭茲對偶群的表示聯繫起來。在算術設定中，我們可以考慮 $GL_n(\mathbb{A}_F)$ 的仿射格拉斯曼式，其中 $\mathbb{A}_F$ 是數域 $F$ 的阿代爾環。我們可以預期，這些結果的算術版本將把 $GL_n(\mathbb{A}_F)$ 的仿射格拉斯曼式上的某種類型的局部系統與 $GL_n$ 的朗蘭茲對偶群的表示聯繫起來。
發展這些結果的算術版本是一個非常具有挑戰性的問題，它需要將幾何表示論、數論和代數拓撲的技術結合起來。

這些結果如何與表示論中的其他對偶性（例如，舒伯特變量中的 Kazhdan-Lusztig 對偶性）相關聯？

這些結果與表示論中的其他對偶性有著密切的聯繫，例如舒伯特變量中的 Kazhdan-Lusztig 對偶性。事實上，這些結果可以看作是 Kazhdan-Lusztig 對偶性在更廣泛的設定下的推廣。
Kazhdan-Lusztig 對偶性是關於旗流形的舒伯特變量之間的對偶性。旗流形是一個複流形，它參數化一個向量空間的旗的空間。舒伯特變量是旗流形的某些子變量，它們由 Weyl 群的元素標記。Kazhdan-Lusztig 對偶性指出，舒伯特變量的交上同調群與 Weyl 群的 Hecke 代數的表示之間存在著對偶關係。
幾何薩塔克等價可以看作是 Kazhdan-Lusztig 對偶性的推廣，其中旗流形被仿射格拉斯曼式取代，Weyl 群被朗蘭茲對偶群取代，Hecke 代數被仿射 Hecke 代數取代。
更具體地說，仿射格拉斯曼式可以看作是旗流形的“仿射版本”。仿射格拉斯曼式的舒伯特變量由朗蘭茲對偶群的元素標記。幾何薩塔克等價指出，仿射格拉斯曼式的舒伯特變量的交上同調群與朗蘭茲對偶群的表示之間存在著對偶關係。
因此，這些結果提供了一個將 Kazhdan-Lusztig 對偶性推廣到更廣泛的設定的框架，並且它們揭示了表示論中不同對偶性之間的深刻聯繫。