유한체 위의 이항식 Weil 합의 4값 가족의 유리성

Conceptos Básicos

유한체 K와 지수 s에 대해, Weil 스펙트럼이 4값을 가지면 그 값들은 모두 유리수이다. 단, K = F5이고 s ≡3 (mod 4)인 경우는 예외적으로 Weil 스펙트럼이 {(5 ± √5)/2, ±√5}가 된다.

Resumen

이 논문은 유한체 K와 지수 s에 대한 Weil 합의 유리성을 연구한다.

1. Weil 합은 K의 정규 가법 특성 ψ와 u ∈K×, s ∈Z+에 대해 W K,s
   u = Σ
   x∈K ψ(xs - ux)로 정의된다. Weil 스펙트럼은 u ∈K×에 대한 W K,s
   u 의 다중집합이다.

2. Weil 스펙트럼이 3값인 경우 모든 값이 유리수라는 것이 알려져 있다. 이 논문에서는 Weil 스펙트럼이 4값인 경우에 대한 유사한 결과를 증명한다.

3. 대수수론과 p-진 및 아르키메데스 상계를 이용하여, Weil 스펙트럼이 4값인 경우 그 값들이 모두 유리수임을 보인다. 단, K = F5이고 s ≡3 (mod 4)인 경우는 예외적으로 Weil 스펙트럼이 {(5 ± √5)/2, ±√5}가 된다.

4. 이 결과는 Weil 스펙트럼이 4값인 경우 그 값들이 모두 정수라는 것을 의미하며, 이는 Walsh 스펙트럼에도 적용된다.

Estadísticas

유한체 K의 특성 p와 차수 q = pn
지수 s는 K×에 대해 역원을 가지는 양의 정수
Weil 합 W K,s
u = Σ
x∈K ψ(xs - ux)
Weil 스펙트럼 WK,s = {W K,s
u : u ∈K×}

Citas

"If the Weil spectrum for K and s is 4-valued, then it is rational unless K = F5 and s ≡3 (mod 4) (in which case WK,s = {(5 ± √5)/2, ±√5})."

Ideas clave extraídas de

Rationality of Four-Valued Families of Weil Sums of Binomials

by Daniel J. Ka... a las arxiv.org 04-09-2024

https://arxiv.org/pdf/2306.14414.pdf

Consultas más profundas

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