유한체 q에 대한 Gilbert-Varshamov 하한이 모든 양의 정수 q에 대해 개선될 수 있음

Conceptos Básicos

모든 양의 정수 q > exp(29)에 대해 Rq(1/2) > RGV(1/2, q)가 성립하여, Gilbert-Varshamov 하한이 q < exp(29)인 경우에만 최적일 수 있다.

Resumen

이 논문은 유한체 q에 대한 Gilbert-Varshamov 하한을 개선할 수 있음을 보여준다.

먼저 저자는 Lenstra 코드라는 기하학적 수론에 기반한 코드 구성법을 소개한다. 이를 통해 A(r, q)라는 새로운 함수를 정의하고, 이에 대한 하한을 구한다.

이어서 무한 Hilbert 류 체 타워를 활용하여 A(r, q)의 하한을 더 개선한다. 이를 통해 최종적으로 모든 양의 정수 q > exp(29)에 대해 Rq(1/2) > RGV(1/2, q)가 성립함을 보인다. 즉, Gilbert-Varshamov 하한은 q < exp(29)인 경우에만 최적일 수 있다.

저자는 또한 Rq(δ)와 q의 관계에 대한 새로운 하한도 제시한다. 기존 Gilbert-Varshamov 하한은 이 하한보다 약했음을 보여준다.

Estadísticas

|NK/Q(a - b)| ≥ rℓ
rG > rℓ, 즉 G ≥ ℓ + 1
dH(ca, cb) = w ≥ n + 1 - G

Citas

"For all integers q > exp(29), we have Rq(1/2) > RGV(1/2, q)."
"For all real numbers δ ∈ (0, 1), we have 1/6 ≤ η(δ) ≤ 1."

Ideas clave extraídas de

The q-ary Gilbert-Varshamov bound can be improved for all but finitely many positive integers q

by Xue-Bin Lian... a las arxiv.org 03-14-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.08727.pdf

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