Diskrete schwache Dualität hybrider Hochordnungsmethoden für konvexe Minimierungsprobleme

Conceptos Básicos

Diese Arbeit leitet ein diskretes duales Problem für eine prototypische hybride Hochordnungsmethode für konvexe Minimierungsprobleme her. Das diskrete primale und duale Problem erfüllen eine schwache konvexe Dualität, die a priori Fehlerschätzungen mit Konvergenzraten unter zusätzlichen Glattheitsbedingungen ermöglicht.

Resumen

Die Arbeit betrachtet ein konvexes Minimierungsproblem der Energie E(v) über v ∈VD := W 1,p
D (Ω; Rm). Das duale Problem maximiert die duale Energie E∗(τ) über τ ∈WN := W p′
N (div, Ω; M).

Es wird gezeigt, dass die diskrete Energie Eh und die diskrete duale Energie E∗
h eine schwache Dualität erfüllen: max E∗
h(WN(M)) ≤min Eh(VD(M)). Diese Dualität führt zu a priori Fehlerschätzungen mit Konvergenzraten unter Glattheitsbedingungen.

Darüber hinaus wird ein neuartiges Postprocessing vorgeschlagen, das a posteriori Fehlerschätzungen auf regulären Triangulierungen in Simplizes ermöglicht. Dies motiviert einen adaptiven Netzverfeinerungsalgorithmus, der sich im Vergleich zu uniformer Netzverfeinerung als überlegen erweist.

Estadísticas

Es gilt die Abschätzung ∥Du∥p + ∥σ∥p′ ≲1 auf der kontinuierlichen Ebene.
Unter Glattheitsbedingungen an u und σ gilt Eh(IV u) −Eh(uh) ≲hk+1
max.

Citas

"Diese Arbeit leitet ein diskretes duales Problem für eine prototypische hybride Hochordnungsmethode für konvexe Minimierungsprobleme her."
"Das diskrete primale und duale Problem erfüllen eine schwache konvexe Dualität, die a priori Fehlerschätzungen mit Konvergenzraten unter zusätzlichen Glattheitsbedingungen ermöglicht."
"Es wird ein neuartiges Postprocessing vorgeschlagen, das a posteriori Fehlerschätzungen auf regulären Triangulierungen in Simplizes ermöglicht."

Ideas clave extraídas de

Discrete weak duality of hybrid high-order methods for convex minimization problems

by Ngoc Tien Tr... a las arxiv.org 04-09-2024

https://arxiv.org/pdf/2308.03223.pdf

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