關於樹張量網路的最佳線性收縮順序及其應用

Conceptos Básicos

樹狀張量網路的線性收縮順序問題存在一個可以在多項式時間內找到最佳解的演算法，並可作為啟發式方法應用於一般收縮順序和任意張量網路拓撲。

Resumen

Stoian, M., Milbradt, R. M., & Mendl, C. B. (2024). On the Optimal Linear Contraction Order of Tree Tensor Networks, and Beyond. arXiv preprint arXiv:2209.12332v5.

本論文旨在探討如何有效地計算樹狀張量網路的收縮順序，以最小化計算成本。

Ideas clave extraídas de

On the Optimal Linear Contraction Order of Tree Tensor Networks, and Beyond

by Mihail Stoia... a las arxiv.org 10-10-2024

https://arxiv.org/pdf/2209.12332.pdf

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如何將 TensorIKKBZ 演算法應用於其他類型的張量網路，例如投影糾纏對態（PEPS）？

TensorIKKBZ 演算法的核心是利用了樹狀張量網路的特殊結構以及線性收縮順序的特性，通過動態規劃找到最優解。然而，PEPS 屬於二維網格結構的張量網路，不具備樹狀結構，因此無法直接應用 TensorIKKBZ 演算法。
要將 TensorIKKBZ 應用於 PEPS，需要進行以下調整：

將 PEPS 轉換為樹狀結構： 可以使用張量網路的「樹分解」（tree decomposition）技術將 PEPS 轉換為樹狀結構。樹分解會將原來的張量網路分解成若干個子張量網路，每個子張量網路構成樹的一個節點，並通過邊連接。然而，樹分解會引入新的張量，增加整體收縮成本，需要在分解過程中盡可能減少新張量的維度。
修改成本函數： TensorIKKBZ 的成本函數基於線性收縮順序，需要修改以適應 PEPS 的二維收縮模式。一種可能的修改是將成本函數定義為所有中間張量的最大维度，以控制計算過程中所需的内存空間。
設計新的動態規劃策略： 由於 PEPS 的收縮順序更加複雜，需要設計新的動態規劃策略來搜索最優解。可以借鑒現有的 PEPS 收縮演算法，例如 CTMRG（Corner Transfer Matrix Renormalization Group）等，結合 TensorIKKBZ 的思想進行改進。

需要注意的是，即使經過上述調整，也很難在保持 TensorIKKBZ 多項式時間複雜度的同時找到 PEPS 的最優收縮順序。因此，需要在效率和精度之間進行權衡，開發出實用的近似演算法。

是否存在其他資料庫查詢優化技術可以應用於張量網路收縮順序問題？

除了文中提到的 IKKBZ 和 LinDP 之外，還有其他資料庫查詢優化技術可以應用於張量網路收縮順序問題：

基於規則的優化（Rule-based Optimization）： 可以根據張量網路的特性制定一些啟發式規則，例如優先收縮維度較小的張量、優先收縮連接度較高的張量等，以指導收縮順序的選擇。這種方法簡單易行，但通常只能找到次優解。
基於成本的搜索（Cost-based Search）： 可以將張量網路的收縮順序問題看作是一個搜索問題，利用搜索演算法（例如貪婪演算法、模擬退火演算法、遺傳演算法等）在搜索空間中尋找成本較低的收縮順序。這種方法可以找到較好的解，但計算成本較高。
動態規劃的其他變體： 除了文中提到的矩陣鏈乘法問題之外，動態規劃還有其他變體可以應用於張量網路收縮順序問題，例如背包問題、最短路徑問題等。需要根據具體問題進行分析和選擇。

此外，還可以借鑒資料庫查詢優化中的其他技術，例如索引、视图、并行化等，來提高張量網路收縮的效率。

如果將量子計算機的架構特性考慮進去，如何設計更有效的張量網路收縮演算法？

量子計算機的架構特性，例如量子比特的連接拓撲、量子門的操作限制等，會影響張量網路的收縮效率。設計更有效的張量網路收縮演算法需要考慮以下因素：

量子比特映射（Qubit Mapping）： 需要將張量網路中的張量映射到量子計算機的量子比特上，使得收縮過程中需要進行的量子比特交換操作最少。
量子門分解（Gate Decomposition）： 需要將張量收縮操作分解成量子計算機可以執行的基本量子門操作序列。
量子電路優化（Quantum Circuit Optimization）： 需要對生成的量子電路進行優化，減少量子門的數量和深度，以降低噪聲和誤差的影响。

以下是一些可以考慮的設計方向：

基於拓撲感知的收縮順序（Topology-aware Contraction Ordering）： 在選擇收縮順序時，優先考慮那些映射到相鄰量子比特上的張量，以減少量子比特交換操作。
基於量子門成本的優化（Gate-cost-aware Optimization）： 在設計成本函數時，考慮不同量子門操作的成本差異，例如單量子比特門和雙量子比特門的成本差異，以指導收縮順序的選擇。
量子電路層級優化（Quantum Circuit Level Optimization）： 在生成量子電路後，利用量子電路優化技術，例如量子門合并、量子門消除等，進一步提高電路效率。

此外，還可以利用量子計算機的并行性，設計并行化的張量網路收縮演算法，以充分发挥量子計算的优势。