局所的にリジッドな∞-圏とそのリジッド化について

Q: V-原子射の概念は、他の数学的構造、例えばモデル圏や導来圏などに拡張できるだろうか？

V-原子射の概念は、 enriched category theory と presentable category theory の枠組みで定義されており、 enriched functor category の right adjoint の存在に依存しています。 モデル圏や導来圏は、 enriched category や presentable category とは異なる構造を持つため、 直接的に V-原子射の概念を拡張することは難しいかもしれません。 しかし、 モデル圏や導来圏においても、コンパクト対象やコンパクト生成三角圏などの類似概念が存在します。 これらの概念は、 V-原子射と同様に、 ある種の「有限性」を捉えたものであり、 何らかの関連性を見出すことができる可能性があります。 例えば、 モデル圏のホモトピー圏におけるコンパクト対象の射影分解と、 V-原子射による object の表示との間に、 何らかの対応関係を見出すことができるかもしれません。 また、 モデル圏や導来圏を、 適切な monoidal model category で enrich することで、 enriched category theory の枠組みで捉え直すことができる場合があります。 このような場合、 enriched functor category の right adjoint の存在など、 V-原子射の定義に必要な条件が満たされれば、 モデル圏や導来圏においても V-原子射の類似物を定義できる可能性があります。

Q: 局所リジッド∞圏とリジッド∞圏の理論は、非対称モノイダル∞圏に対してどのように一般化できるだろうか？

局所リジッド∞圏とリジッド∞圏の理論は、 symmetric monoidal ∞-category の duality を基盤としています。 非対称モノイダル∞圏では、 duality の概念が自明ではなくなるため、 直接的にこれらの理論を一般化することは難しいでしょう。 しかし、 非対称モノイダル∞圏においても、 dualizable object の概念や、 あるいはより一般的に compact object の概念は依然として意味を持ちます。 これらの概念を基に、 局所リジッド∞圏やリジッド∞圏の理論を、 非対称モノイダル∞圏に適した形で再構築できる可能性があります。 例えば、 rigid ∞-category の定義において、 dualizable object の存在を仮定する代わりに、 compact object が「十分多く」存在することを要求する、 という方法が考えられます。 また、 locally rigid ∞-category の定義においては、 unit object の atomic presentation の存在を仮定する代わりに、 unit object が compact object の filtered colimit で書けることを要求する、 という方法が考えられます。 これらの一般化は、 非対称モノイダル∞圏における duality の欠如を補い、 局所リジッド∞圏とリジッド∞圏の理論の essential な部分を捉えていると考えられます。

Keskeiset käsitteet

この記事では、任意の基底V上の局所リジッド対称モノイダル∞圏とリジッド対称モノイダル∞圏の理論を概説し、それらがどのように双対化可能∞圏と関係しているかを解説しています。

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arxiv.org

タイトル：局所的にリジッドな∞-圏
著者：Maxime Ramzi
arXiv:2410.21524v1  [math.CT]  28 Oct 2024

この論文は、局所リジッド∞圏とリジッド∞圏の理論を調査し、それらが双対化可能∞圏とどのように関係するかを解説することを目的としています。

Tärkeimmät oivallukset

Locally rigid $\infty$-categories

by Maxime Ramzi klo arxiv.org 10-30-2024

https://arxiv.org/pdf/2410.21524.pdf

$Locally rigid $\infty$-categories$

Syvällisempiä Kysymyksiä

V-原子射の概念は、他の数学的構造、例えばモデル圏や導来圏などに拡張できるだろうか？

V-原子射の概念は、 enriched category theory と presentable category theory の枠組みで定義されており、 enriched functor category の right adjoint の存在に依存しています。 モデル圏や導来圏は、 enriched category や presentable category とは異なる構造を持つため、 直接的に V-原子射の概念を拡張することは難しいかもしれません。
しかし、 モデル圏や導来圏においても、コンパクト対象やコンパクト生成三角圏などの類似概念が存在します。 これらの概念は、 V-原子射と同様に、 ある種の「有限性」を捉えたものであり、 何らかの関連性を見出すことができる可能性があります。 例えば、 モデル圏のホモトピー圏におけるコンパクト対象の射影分解と、 V-原子射による object の表示との間に、 何らかの対応関係を見出すことができるかもしれません。
また、 モデル圏や導来圏を、 適切な monoidal model category で enrich することで、 enriched category theory の枠組みで捉え直すことができる場合があります。 このような場合、 enriched functor category の right adjoint の存在など、 V-原子射の定義に必要な条件が満たされれば、 モデル圏や導来圏においても V-原子射の類似物を定義できる可能性があります。

局所リジッド∞圏とリジッド∞圏の理論は、非対称モノイダル∞圏に対してどのように一般化できるだろうか？

局所リジッド∞圏とリジッド∞圏の理論は、 symmetric monoidal ∞-category の duality を基盤としています。 非対称モノイダル∞圏では、 duality の概念が自明ではなくなるため、 直接的にこれらの理論を一般化することは難しいでしょう。
しかし、 非対称モノイダル∞圏においても、 dualizable object の概念や、 あるいはより一般的に compact object の概念は依然として意味を持ちます。 これらの概念を基に、 局所リジッド∞圏やリジッド∞圏の理論を、 非対称モノイダル∞圏に適した形で再構築できる可能性があります。
例えば、 rigid ∞-category の定義において、 dualizable object の存在を仮定する代わりに、 compact object が「十分多く」存在することを要求する、 という方法が考えられます。 また、 locally rigid ∞-category の定義においては、 unit object の atomic presentation の存在を仮定する代わりに、 unit object が compact object の filtered colimit で書けることを要求する、 という方法が考えられます。
これらの一般化は、 非対称モノイダル∞圏における duality の欠如を補い、 局所リジッド∞圏とリジッド∞圏の理論の essential な部分を捉えていると考えられます。

局所リジッド∞圏とリジッド∞圏の理論は、具体的な数学的対象、例えば表現論や代数幾何学などにどのように応用できるだろうか？

表現論
表現論において、 群やリー環の表現の圏は、 自然に monoidal category の構造を持ちます。 特に、 有限群やコンパクトリー群の表現の圏は、 rigid ∞-category の例を提供します。
局所リジッド∞圏は、 無限次元表現や非コンパクト群の表現の圏を扱う際に有用となる可能性があります。 例えば、 局所コンパクト群の smooth 表現の圏は、 局所リジッド∞圏の構造を持つことが期待されます。 また、 リジッド∞圏の rigidiﬁcation の概念は、 無限次元表現の適切な「有限次元近似」を構成する際に役立つ可能性があります。
代数幾何学
代数幾何学において、 scheme や stack の導来圏は、 monoidal category の構造を持ちます。 特に、 smooth proper scheme の導来圏は、 rigid ∞-category の例を提供します。
局所リジッド∞圏は、 特異点を持つ scheme や非 proper な scheme の導来圏を扱う際に有用となる可能性があります。 例えば、 局所コンパクト Hausdorff  空間上の sheaves of spectra の ∞-category は、 局所リジッド∞圏の構造を持つことが知られています。 また、 リジッド∞圏の理論は、 導来圏における duality の研究や、 Fourier-Mukai 変換などの deeper な構造の理解に役立つ可能性があります。
その他
これらの例以外にも、 局所リジッド∞圏とリジッド∞圏の理論は、 以下のような分野に応用できる可能性があります。

Stable homotopy theory:  Spectra の ∞-category や、 より一般に stable ∞-category の構造を研究する際に、 リジッド∞圏の理論が有用となる可能性があります。
Condensed mathematics:  Condensed abelian groups や condensed spectra の ∞-category は、 局所リジッド∞圏の構造を持つことが知られており、 condensed mathematics の発展に貢献する可能性があります。
Derived algebraic geometry:  Derived schemes や derived stacks の導来圏は、 monoidal category の構造を持ち、 局所リジッド∞圏やリジッド∞圏の理論の応用が期待されます。
これらの応用は、 まだ始まったばかりであり、 今後さらに多くの分野で、 局所リジッド∞圏とリジッド∞圏の理論の有用性が明らかになっていくことが期待されます。