量子ブール関数の学習可能性に関するタラグラン、KKL、フリードグートの定理の拡張

Keskeiset käsitteet

本論文では、ブール関数の解析に関する3つの重要な定理、すなわちKKL定理、フリードグートのジャンタ定理、タラグランの不等式を量子設定に拡張した。これらの結果は、量子情報理論における量子回路の複雑性下限や量子観測可能量の学習可能性に関する示唆を与える。

Tiivistelmä

本論文では、ブール関数の解析に関する3つの重要な定理を量子設定に拡張した。

1. 量子L1-ポアンカレ不等式:
   任意の量子ブール関数Aに対して、
   ∥A - 2^(-n)tr(A)∥_1 ≤ Inf1(A)
   が成り立つ。

2. 量子L1-タラグラン不等式:
   任意の単位大きさの量子ブール関数Aに対して、
   Var(A) ≤ C ∑_j ∥dj(A)∥_1(1 + ∥dj(A)∥_1) / (1 + log+(1/∥dj(A)∥_1))
   が成り立つ。ここでCは普遍定数。

3. 量子KKL定理:
   任意の平衡量子ブール関数Aに対して、
   max_j Inf1_j(A) ≥ C log(n)/n
   が成り立つ。ここでCは普遍定数。

これらの結果は、量子回路の複雑性下限や量子観測可能量の学習可能性に関する示唆を与える。

さらに、量子フリードグートのジャンタ定理も示した:
任意の量子ブール関数Aと ε > 0 に対して、Aに ε-近い k-ジャンタ B が存在する。ここでkは Inf2(A) / ε^2 * Inf1(A)^6 / Inf2(A)^5 のオーダーである。

Tilastot

任意の量子ブール関数Aに対して、∥A - 2^(-n)tr(A)∥_1 ≤ ∑_j ∥dj(A)∥_1
任意の単位大きさの量子ブール関数Aに対して、Var(A) ≤ C ∑_j ∥dj(A)∥_1(1 + ∥dj(A)∥_1) / (1 + log+(1/∥dj(A)∥_1))
任意の平衡量子ブール関数Aに対して、max_j Inf1_j(A) ≥ C log(n)/n

Lainaukset

なし

Tärkeimmät oivallukset

Quantum Talagrand, KKL and Friedgut's theorems and the learnability of quantum Boolean functions

by Camb... klo arxiv.org 04-05-2024

https://arxiv.org/pdf/2209.07279.pdf

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