算術布朗運動下期權的風險中性估值

Keskeiset käsitteet

本文探討了在算術布朗運動（ABM）框架下，利用風險中性估值法對歐式期權進行定價，並推導出適用於無股息、連續股息收益率和期貨三種標的資產類型的定價公式和偏微分方程。

Tiivistelmä

研究目標

本文旨在探討在算術布朗運動（ABM）框架下，如何利用風險中性估值法對歐式期權進行定價。

方法

本文首先介紹了風險中性估值法的基本原理，並指出在ABM框架下應用該方法時常見的錯誤。接著，本文利用Girsanov定理將貼現後的標的資產價格過程轉換為風險中性測度下的鞅，並推導出相應的隨機微分方程（SDE）。最後，本文通過求解SDE並計算期權到期時貼現收益的期望值，得到了歐式期權的定價公式。

主要發現

• 本文推導出適用於無股息、連續股息收益率和期貨三種標的資產類型的歐式期權定價公式。
• 本文推導出類似於Black-Scholes-Merton（BSM）模型的偏微分方程（PDE），並利用PDE驗證了定價公式的正確性。
• 本文討論了ABM框架下期權定價公式的性質，並指出在長期限和標的資產價格變動標準差較大的情況下，這些公式似乎違反了無套利原則。

結論

本文的研究結果表明，風險中性估值法可以有效地應用於ABM框架下的期權定價。然而，在應用該方法時需要注意一些細節問題，例如SDE中漂移項的設定。此外，ABM模型本身也存在一些局限性，例如允許標的資產價格為負值，這可能導致期權定價公式在某些極端情況下出現問題。

局限性和未來研究方向

• 本文僅考慮了歐式期權的定價，未來可以進一步研究美式期權的定價問題。
• 本文假設標的資產價格服從ABM，未來可以考慮其他更為複雜的價格模型。
• 本文僅考慮了單一標的資產的期權，未來可以研究多標的資產期權（例如，價差期權）的定價問題。

Tilastot

使用2019年標準普爾500指數作為例子，估計的𝜎̂𝑆為354.77。
2019年標準普爾500指數的年化波動率僅為12.5%。
假設平均價格為10，波動率為30%，則𝜎𝑆= 3。
假設無風險利率為5%，到期時間為0.5年。

Lainaukset

“2020年4月22日，芝加哥商品交易所集團（CME Group）將一組石油期貨期權的定價模型切換為巴舍利耶（Bachelier）模型。”
“[1900年]路易斯·巴舍利耶（Louis Bachelier）推導出一個期權定價公式，該公式基於股票價格服從零漂移布朗運動的假設”（Merton，1973）。

Tärkeimmät oivallukset

Risk-neutral valuation of options under arithmetic Brownian motions

by Qiang Liu, S... klo arxiv.org 11-12-2024

https://arxiv.org/pdf/2405.11329.pdf

Syvällisempiä Kysymyksiä

在實際應用中，如何選擇合適的模型（例如，GBM或ABM）來對期權進行定價？

在實際應用中，選擇 GBM 或 ABM 對期權進行定價，需要考慮以下幾個因素：

標的資產的特性: 對於大部分股票、指數等資產，其價格不會出現負值，因此 GBM 模型更為適用。但對於某些特定資產，例如某些大宗商品（如原油）、電力價格等，其價格有可能出現負值，此時 ABM 模型則更為合適。
期權的類型: 對於普通的欧式期權和美式期權，GBM 和 ABM 模型都可以使用，但 ABM 模型的計算相對複雜。對於某些奇異期權，例如亞式期權、障礙期權等，GBM 模型可能更易於處理。
模型的複雜度和計算效率: GBM 模型相對簡單，計算效率高，而 ABM 模型則相對複雜，計算效率較低。在實際應用中，需要在模型的準確性和計算效率之間進行權衡。
市場慣例: 在某些市場，例如 CME 的某些能源期權，已經採用了 Bachelier 模型（即 ABM 模型）進行定價，因此在這些市場上，使用 ABM 模型更為符合市場慣例。
總之，選擇 GBM 或 ABM 模型需要根據具體情況進行分析，沒有絕對的優劣之分。建議在實際應用中，可以同時使用兩種模型進行定價，並比較其結果，以選擇更為合適的模型。

如果考慮交易成本和市場摩擦等因素，ABM框架下的期權定價公式會發生怎樣的變化？

考慮交易成本和市場摩擦等因素後，ABM 框架下的期權定價公式會變得更加複雜，主要體現在以下幾個方面：

交易成本: 交易成本會導致期權的買賣價差擴大，這意味著期權的價格不再是唯一的，而是存在一個買賣價格區間。在 ABM 框架下，可以通過引入交易成本參數，對期權的買賣價格進行修正。
市場衝擊: 大額交易會對市場價格產生影響，這種影響在 ABM 框架下可以通過引入市場衝擊函數來描述。市場衝擊函數會根據交易規模調整標的資產的價格，從而影響期權的價格。
流動性風險: 流動性風險是指無法以合理價格快速買賣資產的風險。在 ABM 框架下，可以通過引入流動性調整因子來反映流動性風險對期權價格的影響。
總之，考慮交易成本和市場摩擦等因素後，ABM 框架下的期權定價公式需要進行相應的修正，以更準確地反映市場的實際情況。

ABM模型允許標的資產價格為負值，這與現實世界中許多資產價格的非負性特徵相矛盾。如何解決這一矛盾？

的確，ABM 模型允許標的資產價格為負值，這與現實世界中許多資產價格的非負性特徵相矛盾。解決這一矛盾的方法主要有以下幾種：

設定價格下限: 對於某些價格不可能為負的資產，例如股票，可以在 ABM 模型中設定一個價格下限，例如零或略高於零的值。這樣可以避免出現負價格，同時保留 ABM 模型的數學便利性。
使用其他模型: 對於價格必須為正的資產，可以考慮使用其他模型，例如 GBM 模型或其他更複雜的模型，這些模型可以保證價格的非負性。
將負價格視為一種理論上的可能性: 在某些情況下，可以將 ABM 模型中的負價格視為一種理論上的可能性，而不是實際的價格預測。例如，在風險管理中，可以使用 ABM 模型模擬極端市場情況，即使這些情況下出現負價格的可能性很小。
需要注意的是，即使在 ABM 模型中出現負價格，也不一定意味著套利機會的存在。因為在實際市場中，交易成本、市場衝擊等因素會限制套利行為。
總之，ABM 模型允許負價格是一個理論上的問題，在實際應用中需要根據具體情況進行處理。