有限群の簡約べき乗（有向）グラフの自己同型群

Concepts de base

有限群の簡約べき乗グラフ（有向および無向）の自己同型群の構造を完全に記述し、巡回群、二面体群、一般四元数群などの具体的な群に対して、その自己同型群を決定する。

Résumé

有限群の簡約べき乗グラフの自己同型群について

本論文は、有限群の簡約べき乗グラフ（有向および無向）の自己同型群の構造を明らかにすることを目的とする。簡約べき乗グラフは、群の各要素を頂点とし、ある要素が別の要素のべき乗であり、かつそれらの生成する巡回群が異なる場合にのみ、対応する頂点間に辺が存在するグラフである。本論文では、このグラフの自己同型群を、群の構造に基づいた具体的な方法で記述する。

まず、有限群 G の簡約べき乗グラフの自己同型群 Aut(RP(G)) および Aut(→RP(G)) を決定するために、2つの重要な群作用を導入する。

1つ目は、G の極大巡回部分群の集合 M(G) に作用する置換群 M(G) であり、これは G 自身への忠実な作用を誘導する。
2つ目は、G の要素を同値類に分割する同値関係 ≃ を定義し、各同値類上の対称群の直積として得られる群 Qt
i=1 S b
ui
である。

次に、Aut(RP(G)) および Aut(→RP(G)) の誘導作用が、同値関係 ≃ によって定義される同値類の集合 R(G) にどのように作用するかを調べる。特に、Aut(RP(G)) の各軌道は、同じタイプの同値類のみから構成されることを示す。
これらの結果を用いて、Aut(→RP(G)) = Qt
i=1 S b
ui
⋊ M(G) であり、G が位数 2^m の巡回群と位数 2^α の一般四元数群を除けば、Aut(RP(G)) も同じ構造を持つことを証明する。
最後に、巡回群、二面体群、一般四元数群、準二面体群、位数 8n の群 V8n、位数 6n の群 U6n、指数 p の p 群、および非自明な要素がすべて位数 p または q の位数 pmq の非冪零群など、いくつかの具体的な群に対して、簡約べき乗グラフの自己同型群を決定する。

Idées clés tirées de

Automorphism group of the reduced power (di)graph of a finite group

by T. Anitha, R... à arxiv.org 11-15-2024

https://arxiv.org/pdf/2206.01054.pdf

Questions plus approfondies

無限群の簡約べき乗グラフの自己同型群はどうなるか？

無限群の場合、簡約べき乗グラフの自己同型群は非常に複雑になり、有限群の場合のように簡潔な構造定理を与えることは一般に困難です。
有限群の場合、自己同型群は、各要素の位数や巡回部分群の構造といった群の内部構造と密接に関係していました。しかし、無限群では、これらの構造がはるかに複雑になる可能性があります。例えば、無限位数の要素が存在したり、有限生成でない巡回部分群が存在したりする可能性があります。
さらに、無限グラフの自己同型群は、有限グラフの自己同型群と比較して、はるかに大きな自由度を持つ可能性があります。これは、無限グラフでは、有限グラフでは不可能な方法で頂点を「動かす」自己同型写像が存在する可能性があるためです。
したがって、無限群の簡約べき乗グラフの自己同型群を決定するためには、個々の群の性質を詳細に分析する必要がある場合が多く、一般的な結果を得るのは困難です。

簡約べき乗グラフの自己同型群の構造から、元の群の構造について何がわかるか？

簡約べき乗グラフの自己同型群の構造は、元の群の構造に関する多くの情報を提供してくれます。特に、群の巡回部分群の構造や、それらの間の包含関係について、多くのことが分かります。
例えば、論文では、有限群 G の簡約べき乗グラフの自己同型群 Aut(RP(G)) は、G の極大巡回部分群の集合 M(G) に作用する置換群 M(G) と、G の各要素の同値類に作用する対称群の直積との半直積で表されることが示されています。
これは、Aut(RP(G)) の構造を調べることで、M(G) の要素数、つまり G における極大巡回部分群の数や、各極大巡回部分群の位数、さらにはそれらの部分群の構造について情報を得ることができることを意味します。
さらに、論文では、いくつかの具体的な群の例について、簡約べき乗グラフの自己同型群が計算されています。これらの例を見ると、巡回群、二面体群、一般四元数群など、異なる種類の群に対して、自己同型群の構造がどのように異なるかを確認することができます。
このように、簡約べき乗グラフの自己同型群を研究することで、元の群の構造、特に巡回部分群の構造に関する情報を効果的に抽出することができます。

簡約べき乗グラフの自己同型群の概念は、他の数学的対象にも拡張できるか？

はい、簡約べき乗グラフの自己同型群の概念は、他の数学的対象にも拡張することができます。
自己同型群は、対象の構造を保つ変換の集まりを表すものであり、群論だけでなく、他の数学分野においても重要な概念です。簡約べき乗グラフは、群の要素間の「べき乗関係」をグラフとして表現したものであり、この考え方は他の代数的構造や関係にも適用できます。
例えば：

半群: 群と同様に、半群も積演算を持つ代数的構造です。簡約べき乗グラフの概念を半群に拡張し、その自己同型群を調べることで、半群の構造に関する新たな知見を得られる可能性があります。
環: 環は、加法と乗法の二つの演算を持つ代数的構造です。環の要素間のべき乗関係を表現するグラフを定義し、その自己同型群を調べることで、環のイデアル構造や他の性質を理解するのに役立つ可能性があります。
順序集合: 順序集合は、要素間に順序関係が定義された集合です。順序関係に基づいてグラフを定義し、その自己同型群を調べることで、順序集合の構造に関する情報を得ることができます。
これらの例以外にも、簡約べき乗グラフの自己同型群の概念は、様々な数学的対象に拡張できる可能性があります。重要なのは、「べき乗関係」を適切に定義し、対象の構造を反映したグラフを構成することです。