自己同型写像を多く持つヤコビアン多様体の単純性について

Concepts de base

本稿では、超楕円曲線の不分岐巡回被覆から生じるヤコビアン多様体の新しい familiy について、その generic な元が単純であることを証明し、自己同型群と自己準同型環の構造を完全に決定する。

Résumé

ヤコビアン多様体の単純性に関する論文要約

本論文は、超楕円曲線の不分岐巡回被覆から生じる高次元ヤコビアン多様体の族について、その generic な元の単純性、自己同型群、自己準同型環の構造を明らかにした研究論文である。

高次元ヤコビアン多様体で、非自明な自己同型写像を多く持ち、かつ明示的に構成できる例は限られている。既知の例は、楕円曲線からの写像を持つ曲線や、射影直線の分岐被覆から得られるものなど、限られたケースに集中している。本研究では、超楕円曲線の不分岐巡回被覆から生じるヤコビアン多様体の新しい familiy を考察し、その性質を詳細に分析することを目的とする。

本研究では、変形理論とモノドロミー理論を用いてヤコビアン多様体の単純性を証明する。具体的には、超楕円構造を保つ無限小変形を考察し、それがヤコビアン多様体の余接空間を rigidify することを示す。これにより、 generic な元の単純性と自己準同型環の構造が明らかになる。さらに、Dirichlet 単数定理を用いることで、自己同型群の構造も決定する。

Idées clés tirées de

Simplicity of some Jacobians with many automorphisms

by J.C. Naranjo... à arxiv.org 11-18-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.10134.pdf

Questions plus approfondies

本稿で示された結果を、Prym 写像の generic injectivity の問題にどのように応用できるだろうか？

本稿の結果は、特に定理1.1と定理1.2において、Prym写像のgeneric injectivityの問題に直接的に応用されています。
まず、Prym写像のgeneric injectivityとは、次数dの巡回エタール被覆を持つ曲線のモジュライ空間から、(d-1)(g-1)次元で分極タイプ(1,...,1,d,...,d)を持つ主偏極アーベル多様体のモジュライ空間へのPrym写像が、 generically に単射となることを指します。
定理1.1では、超楕円曲線の次数dの不分岐巡回被覆から得られるヤコビアン多様体JC0の族について、genericな元が単純であること、自己準同型環が完全に実な体Q(ξ+ξ^-1)であること、自己同型群がランク(d-1)/2-1であることを示しました。
この結果を用いることで、Prym多様体Pが、ある条件下で、ヤコビアン多様体JC0とJC0の直積と(非偏極)同型となることが示されます。さらに、P上の自己準同型と分極τを用いることで、曲線C0とヤコビアンJC0の自己同型βiが、(P,τ)から本質的に復元されます。
定理1.2では、この事実と定理1.1の結果を用いることで、g≥2で(d-1)(g-1)≥7, d≥3, かつgがdを法として3と合同でないという条件下で、Prym写像Pg[d]がgenerically injectiveであることを証明しています。
つまり、本稿で示されたヤコビアン多様体JC0の単純性や自己準同型環に関する結果が、Prym多様体Pの構造を解明する鍵となり、Prym写像のgeneric injectivityを証明する上で重要な役割を果たしているのです。

超楕円曲線ではない一般的な代数曲線に対しても、同様の構成で得られるヤコビアン多様体の familiy は存在するだろうか？存在する場合、その性質はどうなるだろうか？

超楕円曲線ではない一般的な代数曲線の場合、本稿と全く同じ構成を得ることはできません。なぜなら、構成の根本には超楕円曲線が持つ次数2の被覆写像(超楕円写像)が重要な役割を果たしているからです。
しかし、類似の構成を考えることは可能です。例えば、一般的な代数曲線Cに対して、その上の特別な自己同型σを考え、Cのσによる商C/⟨σ⟩を考えます。もし、この商が再び代数曲線となり、そのヤコビアン多様体が興味深い性質を持つならば、本稿の結果と類似した議論を展開できる可能性があります。
具体的な性質については、構成に用いる自己同型σや元の曲線Cの性質に大きく依存するため、一概に述べることはできません。しかし、以下のような方向性が考えられます。

自己同型群とEndomorphism Algebra: 本稿と同様に、商となるヤコビアン多様体の自己同型群やEndomorphism Algebraを調べることができます。特に、自己同型群の構造やEndomorphism Algebraの体次数、分岐などの情報は、ヤコビアン多様体の構造を理解する上で重要な手がかりとなります。
Simplicity: 商となるヤコビアン多様体が単純であるか、あるいはどのような条件下で単純になるかを調べることができます。本稿では変形理論を用いた証明が行われましたが、一般的なケースでは他の手法が必要となる可能性があります。
モジュライ空間における性質: 構成したヤコビアン多様体の族が、アーベル多様体のモジュライ空間の中でどのような位置づけにあるかを調べることができます。例えば、モジュライ空間における像の次元や、他の特別なlocusとの関係などを調べることで、構成した族の持つ数論的、幾何学的性質をより深く理解できる可能性があります。
超楕円曲線ではない場合、解析的なアプローチが難しくなることが予想されます。そのため、代数幾何学的な手法、例えばモジュライ理論や表現論などを用いることが重要となるでしょう。

本稿で扱われたヤコビアン多様体の familiy は、数論的にどのような意味を持つだろうか？例えば、これらのヤコビアン多様体は、どのような数体の上定義される楕円曲線の familiy と対応するだろうか？

本稿で扱われたヤコビアン多様体のfamilyは、定義体が複素数体Cの場合に議論されています。これを数論的に捉えるためには、まずヤコビアン多様体やその定義多様体を、ある数体K上に定義されたものと考える必要があります。
もし、本稿の構成が数体K上でも同様に実行でき、ヤコビアン多様体JC0がK上定義されたとすると、JC0はK上のアーベル多様体となります。このとき、JC0とK上定義された楕円曲線のfamilyとの対応を考えることは、非常に興味深い問題です。
しかし、一般的には、高次元のアーベル多様体が楕円曲線の直積で表現できるとは限りません。特に、本稿で扱われたJC0は、genericに単純であることが示されているため、楕円曲線の直積で表現できる可能性は低いと考えられます。
一方で、JC0のEndomorphism AlgebraがQ(ξ+ξ^-1)であるという事実は、JC0が虚数乗法を持つ可能性を示唆しています。虚数乗法を持つアーベル多様体は、数論的に非常に豊かな構造を持つことが知られており、楕円曲線と類似した数論的性質を持つ場合があります。
具体的な対応関係については、更なる研究が必要となりますが、以下のような方向性が考えられます。

CM点とモジュライ空間: JC0が虚数乗法を持つ場合、そのCM点は対応するモジュライ空間の特別な点となります。これらのCM点を調べることで、JC0の数論的性質をより深く理解できる可能性があります。
L-関数: JC0に対応するL-関数を定義し、その解析的性質や特殊値などを調べることは、JC0の数論的性質を理解する上で重要な手がかりとなります。特に、L-関数の特殊値とJC0の算術的性質との関係は、BSD予想などの重要な予想と深く関連しています。
これらの研究は、本稿の結果を数論的に発展させるための重要な課題と言えるでしょう。