ゼロ対象のない圏における射の正規分解

Concepts de base

ゼロ対象を持たない圏においても、有限極限と有限余極限の存在を仮定することで、射の正規分解を構成できる。

Résumé

この論文は、ゼロ対象を持つ圏における射の分解である、核と余核による分解、
A / / Coker(kerf) / Ker(cokerf) / / B
を、ゼロ対象を持たない圏に一般化することを目的としている。

有限極限と有限余極限を持つ圏Cにおいて、射の正規分解を構成するために、論文ではまず正規単射と正規全射を定義する。
射f: A → Bに対して、正規閉包νf: Nf → Bと正規双対閉包πf: A → Pfを構成し、f = νf · κf · πfと分解する。
κfは比較射と呼ばれる。

論文では、正規単射のクラスNMono(C)が反射的であり、正規全射のクラスNEpi(C)が余反射的であることを示す。
これにより、正規分解は常に存在することが保証される。

さらに、正規分解が完全であるための条件、すなわちNMono(C)とNEpi(C)が合成について閉じているための条件を考察する。
正規分解が完全である場合、(NEpi(C), K, NMono(C))は直交三項分解系を構成する。
ただし、Kは⊥NMono(C) ∩ NEpi(C)⊥である。

論文では、様々な具体圏における正規分解の構成と性質を詳しく調べている。
例えば、アーベル群の圏Ab、群の圏Grp、可換モノイドの圏CMom、可換単位環の圏CRing1、位相空間の圏Top、T1空間の圏Top1などが挙げられる。

さらに、スライス圏における正規分解についても考察し、特にT1空間の圏と群の圏のスライス圏における正規閉包の具体的な構成を与えている。

最後に、正規閉包と正規双対閉包を取る操作は、より一般的な枠組みである、スパンとコスパンスの間の随伴に関連付けられることを指摘している。

Stats

Citations

Idées clés tirées de

The normal decomposition of a morphism in categories without zeros

by Renier Janse... à arxiv.org 11-06-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.03266.pdf

Questions plus approfondies

正規分解の概念は、他の数学的構造、例えば順序集合や距離空間の圏に一般化できるだろうか？

順序集合や距離空間の圏への正規分解の一般化は、いくつかの課題と興味深い可能性を提示します。
課題:

ゼロ対象の欠如: 順序集合や距離空間の圏は、一般的にゼロ対象を持ちません。論文で強調されているように、正規分解の標準的な定義はゼロ対象の存在に依存しています。
核と余核の適切な類似物の定義: 正規分解は核と余核を使用して定義されます。順序集合や距離空間の圏でこれらの概念に適切に対応するものを見つける必要があります。
極限と余極限の存在: 正規分解の構成には、特定の有限極限と余極限の存在が必要です。これらの構造は、順序集合や距離空間の圏では必ずしも存在するとは限りません。
可能性:

順序論的構造の活用: 順序集合は、その順序構造を利用した代替的な「正規性」の概念を定義できる可能性があります。例えば、特定の順序埋め込みを「正規」と見なし、それに対応する「正規分解」を構築できるかもしれません。
距離空間における計量的性質の利用: 距離空間の場合、距離関数に基づいて「正規性」の概念を定義できます。例えば、特定の等長埋め込みを「正規」と見なし、それに対応する分解を調べることができます。
要約すると、正規分解を順序集合や距離空間の圏に直接一般化することは難しいかもしれませんが、これらの圏に特有の構造を利用することで、類似の概念や分解を開発できる可能性があります。

正規分解が完全でない場合、(NEpi(C), K, NMono(C))はどのような構造を持つだろうか？

正規分解が完全でない場合、(NEpi(C), K, NMono(C)) は依然として 弱直交 threefold factorization system を形成します。これは、論文の Theorem 4.2 から直接導かれます。
詳細:

弱直交性: (P, K)⊥(K, N) は、論文で定義されているように、依然として成り立ちます。つまり、適切な条件下で、一意ではない diagonal morphism が存在します。
threefold factorization: N · K · P = mor(C) も依然として成り立ちます。つまり、任意の射は、正規エピ射、比較射、正規モノ射の合成として分解できます。
完全性からの逸脱:
完全性は、N と P が合成で閉じていることを要求します。完全でない場合、これらのクラスは合成で閉じていません。これは、N と P が orthogonal factorization system を形成しないことを意味し、したがって、(NEpi(C), K, NMono(C)) は orthogonal threefold factorization system ではありません。
構造への影響:
完全性の欠如は、(NEpi(C), K, NMono(C)) が持つ追加の構造に影響を与えます。例えば、これは Quillen model structure を定義しない可能性があります。
まとめ:
正規分解が完全でない場合でも、(NEpi(C), K, NMono(C)) は依然として興味深い構造、つまり弱直交 threefold factorization system を持ちます。ただし、完全性の欠如は、この構造が持つ追加の特性と制限に影響を与えます。

正規分解の概念は、圏論以外の数学分野、例えば代数トポロジーや表現論に応用できるだろうか？

正規分解の概念は、圏論以外の数学分野、特に代数トポロジーや表現論において、潜在的に応用できる可能性があります。
代数トポロジー:

ホモトピー理論: 位相空間の圏における正規分解は、ホモトピー理論で重要な役割を果たすファイブレーションやコファイブレーションの概念と関連している可能性があります。正規分解の性質を研究することで、ホモトピー同値やホモトピー群などのホモトピー不変量に関する新しい洞察を得られるかもしれません。
被覆空間: 被覆空間の理論は、正規部分群と商群の概念と密接に関係しています。正規分解は、被覆空間の構成や分類に新しい視点を提供する可能性があります。
表現論:

加群の分解: 表現論では、群や環の加群を研究します。正規分解は、加群をより単純な加群に分解するための新しい方法を提供する可能性があります。
表現の不変量: 正規分解は、表現の不変量、例えば指標や次元を研究するための新しいツールを提供する可能性があります。
具体的な課題:
これらの分野に正規分解を適用するには、いくつかの課題を克服する必要があります。

適切な圏の選択: 特定の数学的構造に適した圏を選択する必要があります。
正規モノ射と正規エピ射の解釈: 選択した圏における正規モノ射と正規エピ射の具体的な解釈を見つける必要があります。
既存の理論との関連付け: 正規分解を既存の理論や結果と関連付ける必要があります。
結論:
正規分解の概念は、代数トポロジーや表現論などの圏論以外の数学分野において、潜在的に応用できる可能性があります。ただし、これらの分野に正規分解を適用するには、さらなる研究と具体的な課題の克服が必要です。