使用雙四元數研究運動學的簡介

Concepts de base

本文解釋了使用雙四元數來表示姿態、扭矩和扭力的方法。

Résumé

本文首先介紹了使用四元數表示旋轉的優點,然後提出使用雙四元數表示姿態的方法。雙四元數是由一對四元數組成的,可以有效地表示位置和方向。

作者解釋了如何使用雙四元數表示扭矩和扭力,並展示了如何使用雙四元數高效地解決正運動學問題。此外,作者還討論了使用雙四元數表示姿態動力學的優點。

雖然使用歐拉角和平移的常規表示方法在概念上比較容易理解,但在計算方面比較困難。而使用雙四元數,雖然在概念上比較抽象,但在計算方面要容易得多。

Stats

四元數只需要4個數字來表示,而矩陣表示需要9個數字。
歐拉角容易出現"萬向節鎖定"的問題,而四元數不會出現這種問題。
使用雙四元數表示姿態時,姿態的微分方程式可以用一個簡單的雙四元數乘法表示。

Citations

"四元數可以用四維向量表示,而矩陣則需要九維向量。因此,當需要對矩陣或四元數進行近似時,從四維向量投影到三維量會比從九維向量投影到三維量容易得多。"
"使用雙四元數表示姿態的一大優點是,姿態的微分方程式可以用一個簡單的雙四元數乘法表示。"

Idées clés tirées de

An introduction to using dual quaternions to study kinematics

by Stephen Mont... à arxiv.org 09-12-2024

https://arxiv.org/pdf/2203.13653.pdf

Questions plus approfondies

除了計算效率,雙四元數表示還有哪些其他的優點?

雙四元數的表示法除了在計算效率上具有優勢外，還有以下幾個重要的優點：

簡化的數學操作：雙四元數的乘法運算具有良好的代數性質，能夠簡化姿態（pose）和扭轉（twist）的計算。這使得在進行運動學分析時，能夠更直觀地處理剛體運動的組合。

避免奇異性問題：與歐拉角相比，雙四元數不會遭遇萬向節鎖（gimbal lock）問題，這使得在進行旋轉時，能夠保持連續性和穩定性，避免了因角度選擇不當而導致的計算不穩定。

更少的參數需求：雙四元數使用八維向量來表示剛體的姿態，相較於傳統的三維旋轉矩陣（九維）和四維單四元數（四維），在表示上更為緊湊，這對於存儲和傳輸數據來說是非常有利的。

良好的插值性能：雙四元數在插值運算中表現出色，特別是在需要平滑過渡的動畫和機器人運動控制中，能夠提供低抖動的插值結果，這對於實時應用尤為重要。

如何在實際應用中更好地利用雙四元數的特性?

在實際應用中，可以通過以下幾種方式更好地利用雙四元數的特性：

運動學模擬：在機器人運動學中，利用雙四元數來表示機器人的姿態和運動，可以簡化運算過程，並提高模擬的準確性。特別是在進行正向運動學和逆向運動學計算時，雙四元數的乘法特性能夠有效地組合多個運動。

動畫和遊戲開發：在計算機圖形學中，雙四元數可以用於角色動畫的平滑過渡，通過slerp（球面線性插值）方法來實現角色的自然旋轉，避免了傳統方法中的不連續性。

控制系統設計：在控制理論中，雙四元數可以用來描述剛體的扭轉和運動，並通過其簡單的微分運算來設計控制器，這對於實現精確的運動控制至關重要。

數據融合：在機器人和自動駕駛系統中，雙四元數可以用於融合來自不同傳感器的數據，提供更準確的姿態估計，這對於導航和定位系統的性能提升有顯著影響。

除了運動學,雙四元數在其他領域如何發揮作用?

雙四元數在運動學以外的其他領域也展現了其獨特的應用潛力，主要包括：

計算機圖形學：在3D建模和動畫中，雙四元數被用來表示物體的旋轉和變換，特別是在角色動畫和物理模擬中，能夠提供平滑的運動過渡和更真實的視覺效果。

機器人學：在機器人控制和導航中，雙四元數用於描述機器人的姿態和運動，幫助實現精確的運動控制和路徑規劃，特別是在複雜環境中的自主導航。

航空航天：在飛行器的姿態控制中，雙四元數被用來表示和計算飛行器的方向和旋轉，這對於飛行穩定性和導航系統的設計至關重要。

虛擬現實和增強現實：在虛擬現實（VR）和增強現實（AR）應用中，雙四元數用於追蹤用戶的頭部和手部運動，提供更自然的交互體驗，並增強沉浸感。

生物力學：在生物力學研究中，雙四元數可用於分析人體運動，幫助理解運動過程中的關節運動和姿態變化，這對於運動科學和康復治療有重要意義。