基於共識的雙層優化 (CB$^2$O)：一種用於非凸目標函數的全局優化方法

Concepts de base

本文提出了一種名為基於共識的雙層優化 (CB2O) 的新型粒子群優化算法，用於解決上下層目標函數皆可能非凸的雙層優化問題，並從理論上和實驗上驗證了該算法的有效性。

Résumé

CB2O: 基於共識的雙層優化

本文介紹了一種名為基於共識的雙層優化 (CB2O) 的新型粒子群優化算法，旨在解決以下形式的雙層優化問題：
θ∗
good := arg min
θ∗∈Θ
G(θ∗)
s.t.
θ∗∈Θ := arg min
θ∈Rd
L(θ),
其中，目標是在下層目標函數 L 的全局最優解集 Θ 上最小化上層目標函數 G。這種問題形式在科學、工程、機器學習和人工智能等領域有著廣泛的應用。

現有的雙層優化算法大多針對凸優化問題設計，對於非凸目標函數的處理能力有限。此外，許多算法依賴於對下層目標函數 L 的全局最優解集 Θ 的顯式刻畫，這在實踐中往往難以實現。

Idées clés tirées de

CB$^2$O: Consensus-Based Bi-Level Optimization

by Nico... à arxiv.org 11-21-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.13394.pdf

Questions plus approfondies

CB2O 算法如何與其他元啟發式優化算法（例如粒子群優化、遺傳算法等）進行比較？

CB2O 算法作為一種元啟發式優化算法，與其他同類算法（如粒子群優化 PSO、遺傳算法 GA 等）相比，既有共通點，也具備獨特的優勢：
共通點:

都屬於基於種群的優化算法: CB2O、PSO、GA 等都利用多個代理（粒子、個體）在解空間中搜索，並通過代理間的交互合作，尋找全局最優解。
都具有較強的全局搜索能力: 元啟發式算法通常不依賴於目標函數的梯度信息，因此對目標函數的連續性、可微性等要求較低，擅長處理非凸、非光滑等複雜優化問題。
都具有一定的隨機性: 元啟發式算法通常引入隨機因素，以增加算法的探索能力，避免陷入局部最優解。
CB2O 的獨特優勢:

專為雙層優化問題設計: CB2O 算法的核心是其獨特的共識點計算機制，該機制通過分位數選擇和 Laplace 原理近似，能夠有效地處理雙層優化問題中上下層目標函數的耦合關係，而 PSO、GA 等傳統元啟發式算法並未針對此類問題進行特殊設計。
具有嚴格的理論收斂性分析: 與許多缺乏嚴格理論基礎的元啟發式算法不同，CB2O 算法在平均場極限下，能夠被證明以指數速度收斂到全局最優解，這為算法的有效性提供了理論保障。
對約束條件的處理更加靈活: CB2O 算法通過將約束條件嵌入到下層目標函數中，能夠更加靈活地處理各種約束條件，包括非凸約束，而 PSO、GA 等算法在處理約束條件時，通常需要引入額外的懲罰項或約束處理機制。
總而言之，CB2O 算法作為一種專為雙層優化問題設計的元啟發式算法，在處理此類問題時，相比於 PSO、GA 等傳統算法，具有更加顯著的優勢，特別是在理論收斂性和約束處理方面。

如果上下層目標函數的性質未知，如何選擇 CB2O 算法的超參數？

當上下層目標函數的性質未知時，選擇 CB2O 算法的超參數需要結合經驗和實驗調參：
1. β (分位數參數):

功能: 控制參與共識點計算的粒子數量，影響算法對下層目標函數的探索程度。
選擇策略:

從較小的 β 值開始 (例如 0.1)，逐步增大，觀察算法在下層目標函數上的表現。
β 越小，參與共識點計算的粒子越少，算法探索性越強，但收斂速度可能較慢。
β 越大，參與共識點計算的粒子越多，算法開發性越強，但可能更容易陷入局部最優解。
2. α (權重參數):

功能: 控制共識點計算中，各個粒子權重的分配，影響算法對上層目標函數的優化程度。
選擇策略:

從較大的 α 值開始 (例如 10)，逐步減小，觀察算法在上層目標函數上的表現。
α 越大，上層目標函數值較小的粒子權重越大，算法更容易收斂到上層目標函數的全局最優解。
α 越小，各個粒子的權重差異減小，算法的探索性增強，但收斂速度可能變慢。
3. λ (漂移系数) 和 σ (擴散系数):

功能: λ 控制粒子向共識點移動的趨勢，σ 控制粒子的隨機擴散程度。
選擇策略:

λ 和 σ 共同影響算法的探索和開發能力，需要相互协调。
λ 較大時，算法收斂速度較快，但容易陷入局部最優解；σ 較大時，算法探索能力較強，但收斂速度較慢。
可以采用一些經驗公式或自适应策略来调整 λ 和 σ，例如模拟退火算法中的温度参数。
4. 其他超參數:

粒子數量 N: 通常情况下，粒子數量越多，算法的全局搜索能力越强，但计算成本也越高。
最大迭代次數: 根据实际问题的复杂程度和求解精度要求来设定。
總之，在目標函數性質未知的情况下，選擇 CB2O 算法的超參數需要结合经验和实验调参，并根据算法的收敛性和求解精度来不断调整。

CB2O 算法能否應用於解決其他類型的優化問題，例如多目標優化、約束優化等？

CB2O 算法本身是為了解決雙層優化問題而設計的，但其核心思想可以被拓展應用到其他類型的優化問題，例如多目標優化、約束優化等。
1. 多目標優化:

思路: 可以將多個目標函數中的其中一個作為下層目標函數 L，其他目標函數通過加權求和或其他方式構成上層目標函數 G。
挑戰: 如何設計合理的權重分配策略，平衡各個目標函數的重要性，以及如何有效地處理多目標優化問題中的 Pareto 前沿面。
2. 約束優化:

思路: 可以將約束條件嵌入到下層目標函數 L 中，例如使用懲罰函數法將約束違反程度轉化為目標函數的一部分。
優勢: CB2O 算法中的分位數選擇機制可以有效地處理約束條件，即使約束集是非凸的。
挑戰: 如何設計合理的懲罰函數，以及如何平衡約束條件和原始目標函數之間的關係。
3. 其他潛在應用:

分佈式優化: CB2O 算法的共識機制可以被應用於分佈式優化問題，例如聯邦學習。
強化學習: CB2O 算法可以被用於解決強化學習中的策略優化問題。
總之，CB2O 算法的核心思想具有較强的拓展性，可以被應用於解決多目標優化、約束優化等其他類型的優化問題。當然，在實際應用中，需要根據具體問題的特点，对算法进行相应的改进和优化。