將一般非線性系統沉浸至狀態仿射系統，以設計基於廣義參數估計的觀測器：一種簡單的代數方法

Concepts de base

本文提出了一種將一般非線性系統轉換為狀態仿射形式的代數方法，以便於設計基於廣義參數估計的觀測器 (GPEBO)，並通過學術和實際例子驗證了該方法的有效性。

Résumé

文章類型：學術論文

研究背景

• 基於廣義參數估計的觀測器 (GPEBO) 在處理狀態仿射形式的系統方面非常成功。
• 將一般非線性系統轉換為特定形式以設計觀測器的問題由來已久。
• 現有方法需要求解偏微分方程 (PDE) 並確保微分同胚的單射性，這在數學上非常困難。

研究方法

• 本文提出了一種簡單的代數方法來選擇系統沉浸和所需的坐標變換。
• 該方法基於將非線性系統的狀態方程表示為可測量信號和未知參數向量之和。
• 通過導出回歸方程來估計參數，該方程可以是線性回歸方程 (LRE) 或非線性參數化回歸方程 (NLPRE)。
• 論文討論了確保參數收斂所需的激勵條件，最弱的條件是區間激勵 (IE)。

研究結果

• 本文證明了該代數方法可以有效地將一般非線性系統轉換為狀態仿射形式。
• 論文通過幾個學術基準示例和實際物理示例（包括磁懸浮系統、永磁同步電機 (PMSM) 和一類機械系統）驗證了該方法的有效性。

研究結論

• 本文提出的代數沉浸方法為設計基於 GPEBO 的非線性系統觀測器提供了一種系統化且易於應用的方法。
• 該方法可以應用於各種學術和實際系統，為非線性系統觀測器設計領域做出了貢獻。

Stats

Citations

Idées clés tirées de

Immersion of General Nonlinear Systems Into State-Affine Ones for the Design of Generalized Parameter Estimation-Based Observers: A Simple Algebraic Procedure

by Romeo Ortega... à arxiv.org 11-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.10965.pdf

Questions plus approfondies

除了將系統轉換為狀態仿射形式外，還有哪些其他方法可以設計基於 GPEBO 的非線性系統觀測器？

除了將系統轉換為狀態仿射形式外，還有其他設計基於 GPEBO 的非線性系統觀測器的方法，以下列舉幾種：

非線性回歸方程式估計: 對於某些非線性系統，即使無法轉換為狀態仿射形式，但其輸出方程式可能可以被轉換為可分離的非線性參數化回歸方程式 (NLPRE)。在這種情況下，可以直接使用非線性參數估計方法，例如 LS+DREM 估計器，來估計未知參數，進而重建系統狀態。

高增益觀測器結合 GPEBO: 對於一些特定類型的非線性系統，可以結合高增益觀測器和 GPEBO 的優點進行設計。例如，可以使用高增益觀測器處理系統中的非線性項，同時使用 GPEBO 估計系統狀態或未知參數。

滑模觀測器結合 GPEBO: 滑模觀測器對模型不確定性和外部干擾具有魯棒性。可以設計滑模觀測器來估計系統狀態的一部分，然後使用 GPEBO 估計剩餘狀態或未知參數。

基於學習的 GPEBO: 對於複雜的非線性系統，可以使用神經網絡或其他機器學習方法來逼近系統的非線性動力學。然後，可以將 GPEBO 方法應用於學習到的模型，以估計系統狀態或未知參數。

需要注意的是，這些方法的適用性和性能取決於具體的非線性系統特性。

如果系統存在模型不確定性或外部干擾，該方法是否仍然有效？

如果系統存在模型不確定性或外部干擾，GPEBO 方法的有效性會受到影響。以下分析不同情況：

模型不確定性: 如果模型不確定性是參數化的，可以將未知參數擴展到 GPEBO 的參數向量中，並使用參數估計方法同時估計系統狀態和未知參數。然而，如果模型不確定性是非參數化的，例如未建模的動態，GPEBO 的性能可能會下降，需要考慮更複雜的設計方法，例如自適應 GPEBO 或魯棒 GPEBO。

外部干擾: 外部干擾會影響 GPEBO 的性能。如果干擾是有界的，可以使用魯棒參數估計方法來減輕其影響。如果干擾的模型已知，可以將其納入 GPEBO 的設計中。如果干擾的模型未知，可以使用干擾觀測器來估計干擾，並將其補償到 GPEBO 中。
總之，GPEBO 方法在一定程度上可以處理模型不確定性和外部干擾，但需要根據具體情況進行適當的修改和擴展。

如何將該方法推廣到更複雜的非線性系統，例如具有時變參數或時滯的系統？

將 GPEBO 方法推廣到更複雜的非線性系統，例如具有時變參數或時滯的系統，需要克服一些挑戰：

時變參數: 對於具有時變參數的系統，需要使用能夠處理時變參數的參數估計方法。例如，可以使用遞迴最小二乘法 (Recursive Least Squares) 或卡爾曼濾波器 (Kalman Filter) 來估計時變參數。

時滯: 對於具有時滯的系統，需要將時滯信息納入 GPEBO 的設計中。一種方法是使用狀態擴展技術，將時滯系統轉換為高維的無時滯系統，然後應用 GPEBO 方法。另一種方法是使用時滯系統的 Lyapunov-Krasovskii 泛函方法來設計 GPEBO。
以下是一些針對時變參數和時滯系統的 GPEBO 推廣方法：

自適應 GPEBO: 可以設計自適應 GPEBO 來處理時變參數。自適應律可以用於更新 GPEBO 的參數，使其能夠跟踪系統參數的變化。

時滯 GPEBO: 可以設計時滯 GPEBO 來處理時滯系統。時滯 GPEBO 可以使用時滯狀態信息來估計系統狀態。

基於預測器的 GPEBO: 可以設計基於預測器的 GPEBO 來處理時變參數和時滯系統。預測器可以用於預測系統的未來狀態，並將其用於 GPEBO 的設計中。
需要注意的是，將 GPEBO 方法推廣到更複雜的非線性系統需要更深入的理論分析和更複雜的設計方法。