從 Weyl 聯絡和 f(R, A) 推廣探討修正重力理論

Concepts de base

本文利用 Weyl 聯絡和 Weyl 幾何結構構建新的修正重力理論，探討其宇宙學應用，發現該理論可以產生有效的暗能量效應，並能重現宇宙的熱歷史。

Résumé

這篇研究論文探討了基於 Weyl 聯絡和 Weyl 幾何結構的新型修正重力理論。作者首先回顧了 Weyl 聯絡和 Weyl 幾何的基本概念，並闡述了如何利用 Weyl 聯絡的 Ricci 標量構建修正的 Einstein-Hilbert 作用量。

作者接著提出了四種類型的修正重力理論：

第一類

僅使用 Weyl 聯絡的 Ricci 標量作為拉格朗日量，結果發現該理論等同於廣義相對論。

第二類

將 Weyl 場升級為具有動力學的場，並在其動能項中引入其跡的任意函數 f(A)。這種理論包含 2+1 個自由度，其中額外的自由度是 Weyl 場。

第三類

在第二類理論的基礎上，進一步在作用量中引入 Weyl 場跡的另一個任意函數 h(A)。該理論同樣具有 2+1 個自由度，額外的自由度也是 Weyl 場。

第四類

最廣義的理論，即 f(R̃, A) 重力理論，其中 R̃ 是 Weyl 聯絡的 Ricci 標量。該理論具有 2+2 個自由度，其中一個額外的自由度是 Weyl 場，另一個是隱藏在 Ricci 標量非線性函數中的標量場。

作者接著將這些理論應用於宇宙學框架，並推導了修正的 Friedmann 方程式。結果顯示，這些理論可以產生有效的暗能量效應，並能重現宇宙的熱歷史，即物質主導時代和暗能量主導時代的順序。

在最簡單的理論中，作者獲得了一個有效的宇宙學常數，從而恢復了 ΛCDM 模型。然而，在更一般的理論中，作者獲得了由 Weyl 場和度規的動力學產生的動態暗能量。

作者還提供了一個具體的例子，展示了該理論如何產生與觀測結果一致的宇宙學演化，包括物質和暗能量密度參數的演化、暗能量狀態方程參數的行為以及宇宙從減速膨脹到加速膨脹的轉變。

總之，這篇論文表明，Weyl 聯絡和 Weyl 幾何結構可以作為構建新型修正重力理論的基礎，並為解釋暗能量和宇宙加速膨脹提供了一個新的途徑。

Stats

作者設定目前的暗能量密度參數 ΩDE(z = 0) ≈ 0.7，物質密度參數 Ωm(z = 0) ≈ 0.3。
在特定的模型中，宇宙從減速膨脹到加速膨脹的轉變發生在紅移 z ≈ 0.6 處。

Citations

Idées clés tirées de

Modified gravity from Weyl connection and the $f(R,\cal{A})$ extension

by Gerasimos Ko... à arxiv.org 11-22-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.14380.pdf

Questions plus approfondies

如何將 Weyl 聯絡修正重力理論與其他的修正重力理論（例如 f(R) 重力、f(T) 重力等）進行比較和區分？

Weyl 聯絡修正重力理論與其他修正重力理論，如 f(R) 重力、f(T) 重力等，主要區別在於其所基於的幾何結構和聯絡方式：

Weyl 聯絡修正重力
f(R) 重力
f(T) 重力

幾何結構
Weyl 幾何
Riemann 幾何
Weitzenböck 幾何

聯絡方式
Weyl 聯絡
Levi-Civita 聯絡
Weitzenböck 聯絡

自由度
2+1 或 2+2
2+1
2+1

主要特點
- 使用 Weyl 場作為額外自由度 - 場方程式為二階，無 Ostrogradsky 鬼影 - 可產生類似宇宙常數或動態暗能量效應
- 以 Ricci 標量函數 f(R) 作為 Lagrangian - 可產生晚期宇宙加速膨脹
- 以扭率標量函數 f(T) 作為 Lagrangian - 可產生早期宇宙暴脹或晚期宇宙加速膨脹

簡要說明：

幾何結構和聯絡方式: 這是區分這些理論的最根本差異。不同的幾何結構決定了時空本身的性質，而不同的聯絡方式則決定了如何在時空中進行微分和積分運算。
自由度: 這是指理論中獨立變量的數量。Weyl 聯絡修正重力理論的自由度取決於具體的模型，可以是 2+1 或 2+2，而 f(R) 和 f(T) 重力通常具有 2+1 個自由度。
主要特點: 這是指每個理論獨特的性質和預測。例如，Weyl 聯絡修正重力理論可以產生類似宇宙常數或動態暗能量效應，而 f(R) 重力則可以產生晚期宇宙加速膨脹。
總之，Weyl 聯絡修正重力理論提供了一種全新的修正重力途徑，它與其他修正重力理論有著顯著的差異，並可能對宇宙學和天體物理學產生深遠的影響。

如果考慮 Weyl 場的量子效應，是否會對該理論的宇宙學預言產生影響？

考慮 Weyl 場的量子效應，的確有可能對 Weyl 聯絡修正重力理論的宇宙學預言產生影響，甚至帶來新的效應：

真空極化效應: 在量子場論中，真空並非空無一物，而是充滿了虛粒子對的產生和湮滅。Weyl 場作為一種規範場，也會受到真空極化效應的影響，從而改變其自身的動力學行為，進而影響宇宙膨脹歷史和結構形成。
量子漲落: 在量子力學中，物理量會出現量子漲落，Weyl 場也不例外。這些漲落可能會在早期宇宙中被放大，從而產生可觀測的效應，例如對宇宙微波背景輻射的影響。
非微擾效應: 在強場 regime 下，例如黑洞附近或早期宇宙，Weyl 場的量子效應可能無法用微擾理論來描述。這需要發展新的非微擾方法來研究，例如格點規範理論或全息對偶。
然而，目前 Weyl 聯絡修正重力理論的量子效應研究還處於初步階段，許多問題尚待解決：

可重整化性: 目前尚不清楚 Weyl 聯絡修正重力理論是否具有可重整化性，即是否可以消除理論中的無窮大，得到有限的物理預測。
與標準模型的耦合: 需要研究 Weyl 場如何與標準模型中的物質場耦合，以及這種耦合是否會帶來新的效應。
實驗和觀測限制: 需要尋找實驗和觀測證據來檢驗 Weyl 聯絡修正重力理論的量子效應。
總之，考慮 Weyl 場的量子效應可能會為 Weyl 聯絡修正重力理論帶來新的可能性，但也面臨著許多挑戰。這是一個值得深入研究的方向。

Weyl 聯絡修正重力理論是否可以應用於其他的天體物理現象，例如黑洞、星系形成等？

除了宇宙學應用外，Weyl 聯絡修正重力理論也可能應用於其他天體物理現象，例如黑洞和星系形成：
黑洞:

黑洞解: Weyl 聯絡修正重力理論可能會預測新的黑洞解，這些解可能與廣義相對論中的黑洞解有所不同，例如可能存在沒有事件視界的黑洞解。
霍金輻射: Weyl 場的存在可能會影響黑洞的霍金輻射，例如改變輻射的溫度和熵。
奇點問題: Weyl 聯絡修正重力理論可能可以解決廣義相對論中的奇點問題，即避免黑洞中心的奇點。
星系形成:

暗物質: Weyl 場本身可以作為一種暗物質候選者，或者與其他暗物質模型結合，解釋星系旋轉曲線和其他與暗物質相關的觀測現象。
星系結構: Weyl 場可能會影響星系的形成和演化，例如改變星系的形態和大小。
宇宙大尺度結構: Weyl 聯絡修正重力理論可能會對宇宙大尺度結構的形成產生影響，例如改變星系團的分布。
然而，將 Weyl 聯絡修正重力理論應用於黑洞和星系形成等天體物理現象，也面臨著一些挑戰：

強場效應: 在黑洞和星系形成等強引力場環境中，需要考慮 Weyl 聯絡修正重力理論的非線性效應，這可能會使問題變得非常複雜。
數值模擬: 為了研究 Weyl 聯絡修正重力理論對黑洞和星系形成的影響，需要進行複雜的數值模擬，這需要強大的計算能力。
觀測限制: 目前對黑洞和星系形成的觀測還不夠精確，難以區分 Weyl 聯絡修正重力理論與廣義相對論的預測。
總之，Weyl 聯絡修正重力理論在黑洞和星系形成等天體物理現象中具有潛在的應用價值，但也面臨著一些挑戰。這是一個值得進一步探索的方向。