以鐵路時刻表為例，探討量子優化中二次與多項式無約束二元模型的比較

Concepts de base

將組合優化問題表述為無約束二元優化問題時，選擇適當的模型表示形式（QUBO 或 PUBO）對於量子近似優化算法（QAOA）的性能至關重要，本文通過一個鐵路時間表案例證明了這一點，結果表明，對於某些問題，PUBO 模型的性能優於 QUBO 模型。

Résumé

論文資訊
Camille Grange, Marion Lavignac, Valentina Pozzoli, and Eric Bourreau. (2024). Quadratic versus Polynomial Unconstrained Binary Models for Quantum Optimization illustrated on Railway Timetabling. arXiv preprint arXiv:2411.10062v1.
研究目標
本研究旨在探討將組合優化問題表述為無約束二元優化問題時，選擇適當的模型表示形式（二次無約束二元優化，QUBO 或 多項式無約束二元優化，PUBO）對量子近似優化算法（QAOA）性能的影響。
研究方法

本文提出了一種將任意多項式問題轉換為 PUBO 問題的通用方法，並針對線性約束的情況提出了一種利用 PUBO 特性強制懲罰項取二元值的特定方法。
本文還提出了兩種通用的 QUBO 轉換方法，用於比較。
以鐵路時刻表問題為例，將其簡化為一個擴展的裝箱問題，並分別使用 QUBO 和 PUBO 模型進行表述。
使用 QAOA 算法在三個小型實例上對兩種模型的性能進行了數值比較。
主要發現

PUBO 模型在解決鐵路時刻表問題的 QAOA 算法中表現出比 QUBO 模型更優的性能。
在所有測試實例中，使用 PUBO 模型的 QAOA 從未返回不可行的解決方案，而使用 QUBO 模型的 QAOA 則返回了 10% 到 13% 的不可行解決方案。
使用 PUBO 模型的 QAOA 算法在找到最優解方面的比例 (55% 到 71%) 遠高於使用 QUBO 模型的算法 (4% 到 8%)。
主要結論

選擇適當的無約束二元優化模型表示形式對於使用 QAOA 算法解決組合優化問題至關重要。
對於某些問題，例如本文研究的鐵路時刻表問題，PUBO 模型的性能優於 QUBO 模型。
PUBO 模型的優勢可能源於其需要的量子位元數較少，以及能夠強制懲罰項取二元值，從而更有效地引導 QAOA 算法找到可行且最優的解決方案。
研究意義
本研究強調了在量子優化中選擇適當問題表述的重要性，並為使用 QAOA 算法解決組合優化問題提供了有價值的見解。研究結果表明，PUBO 模型在某些情況下可能比 QUBO 模型更有效，這為未來的量子算法設計和問題建模提供了參考。
局限性和未來研究方向

本研究僅在三個小型實例上測試了 QUBO 和 PUBO 模型的性能，未來應在更大規模和更複雜的實例上進行測試，以驗證結論的普適性。
未來研究可以探討其他影響 QAOA 算法性能的因素，例如量子電路的深度、經典優化器的選擇以及量子硬體的噪聲等，並研究如何針對不同問題和模型選擇最佳參數設置。
可以進一步研究 PUBO 模型的優勢，例如其對量子硬體資源需求的影響，以及如何利用其特性設計更高效的量子算法。

Stats

在巴黎-里昂地區的鐵路時刻表問題實例中，僅考慮 6 個車站和 1 天的時間，就涉及約 25,000 名乘客、176 個乘客群體、87 列可行列車和 157 條列車路徑，導致名義問題具有 8,000 個二元變數。
上述實例的 QUBO 公式需要大約 12,000 個額外的量子位元，最終需要 20,000 個量子位元才能完整描述該實例。
在 100 次運行中，使用 PUBO 公式的 QAOA 從未返回不可行的解決方案，而使用 QUBO 公式的 QAOA 則返回了 10% 到 13% 的不可行解決方案。
使用 PUBO 公式的 QAOA 算法在找到最優解方面的比例 (55% 到 71%) 遠高於使用 QUBO 公式的算法 (4% 到 8%)。

Idées clés tirées de

Quadratic versus Polynomial Unconstrained Binary Models for Quantum Optimization illustrated on Railway Timetabling

by Camille Gran... à arxiv.org 11-18-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.10062.pdf

Questions plus approfondies

如何將 PUBO 模型的優勢應用於其他類型的組合優化問題，例如路徑優化、資源分配和機器學習？

PUBO 模型的優勢主要體現在其靈活性，能夠更直接地表示高次約束條件，從而減少輔助變數和量子位元的數量。這種優勢可以應用於多種類型的組合優化問題，以下是一些例子：

路徑優化：

在旅行商問題 (TSP) 中，可以使用 PUBO 模型直接表示“每個城市只訪問一次”的約束，而不需要像 QUBO 模型那樣引入大量的輔助變數來表示子行程。
在車輛路徑問題 (VRP) 中，可以使用 PUBO 模型更有效地表示車輛容量、時間窗等約束條件。

資源分配：

在調度問題中，可以使用 PUBO 模型更精確地表示資源衝突、優先級等約束條件，例如在作業車間調度問題中，可以直接表示機器閒置時間和作業順序的約束。
在頻譜分配問題中，可以使用 PUBO 模型更有效地表示頻譜資源的互斥性和干擾約束。

機器學習：

在圖像分割中，可以使用 PUBO 模型更準確地表示像素之間的空間關係，從而提高分割精度。
在特徵選擇中，可以使用 PUBO 模型更有效地選擇具有高階交互作用的特徵，從而提高模型的泛化能力。
總之，對於涉及高次約束條件或需要減少量子位元數量的組合優化問題，PUBO 模型都具有潛在的應用價值。

是否存在某些類型的組合優化問題更適合使用 QUBO 模型表示，而另一些則更適合使用 PUBO 模型？

是的，一些組合優化問題更適合用 QUBO 模型表示，而另一些則更適合用 PUBO 模型。選擇哪種模型取決於問題的具體結構和約束條件。

更適合 QUBO 模型的問題：

约束条件主要为线性或可以轻松线性化的問題。
問題規模較小，量子位元數量不是主要限制因素的場合。
现有的 QUBO 求解器可以有效处理的特定问题结构，例如 MAX-CUT 問題。

更適合 PUBO 模型的問題：

约束条件包含高次项，难以线性化或线性化后会引入大量辅助变量的問题。
問題規模較大，需要尽量减少量子位元数量的場合。
可以利用 PUBO 模型的灵活性更直接地表示约束条件，从而提高求解效率的問题。
例如，对于一个包含少量变量和线性约束的资源分配问题，使用 QUBO 模型可能更简单直接。而对于一个包含大量变量和复杂非线性约束的路径优化问题，使用 PUBO 模型则可能更有效。

如果將來容錯量子計算機問世，是否意味著 QUBO 和 PUBO 模型的區別將不再顯著？

即使將來容錯量子計算機問世，QUBO 和 PUBO 模型的區別也不會完全消失，但其顯著性可能會降低。

容錯量子計算機带来的改变：

量子位元数量和保真度的大幅提升，可以处理更大规模的 QUBO 和 PUBO 問題。
更先进的量子算法和纠错技术，可以更有效地解决组合优化问题。

QUBO 和 PUBO 模型区别依然存在的原因：

问题本身的复杂度：即使有强大的计算能力，一些问题本身就难以求解，模型的表达能力仍然重要。
算法效率：不同的模型可能需要不同的量子算法和电路结构，效率也会有所差异。
资源消耗：即使量子资源充足，更简洁的模型仍然可以节省资源，提高求解速度。
因此，即使在容錯量子計算時代，选择合适的模型仍然是重要的。对于一些问题，QUBO 模型的简单性和现有工具的成熟度仍然具有优势。而对于另一些问题，PUBO 模型的灵活性可以更有效地解决问题，节省资源。