単相的な基礎の中での単子の形式理論の開発

Concepts de base

単子は数学とコンピュータサイエンスの両分野で広く使われており、様々な種類の単子が考えられている。本論文では、任意の双カテゴリーの中での単子の一般的な枠組みを開発し、その性質を示す。特に、単子双カテゴリーが単相的であることを証明し、Eilenberg-Moore対象の構成を行う。さらに、単子と随伴性の関係を明らかにする。

Résumé

本論文では、単子の形式理論を単相的な基礎の中で開発している。

まず、双カテゴリーの概念を復習し、単相的双カテゴリーの定義を与える。次に、任意の双カテゴリーBに対して、その中の単子を表す双カテゴリーMnd(B)を構成する。Mnd(B)は単相的であることを示す。

様々な例として、対称単子、強単子、分配則を持つ単子などを挙げる。また、任意の単子から、その Kleisli圏に対応する単子を構成する方法を示す。

さらに、Eilenberg-Moore対象について考察し、Kleisli圏を用いてEilenberg-Moore対象を構成する方法を示す。

最後に、任意の随伴性から単子が得られること、および、Eilenberg-Moore対象を持つ双カテゴリーでは任意の単子から随伴性が得られることを示す。

Stats

単子は数学とコンピュータサイエンスの両分野で広く使われている
様々な種類の単子が考えられており、それらは双カテゴリーの中で一般化して扱える
単子双カテゴリーMnd(B)は単相的である
任意の単子から、その Kleisli圏に対応する単子を構成できる
Eilenberg-Moore対象は Kleisli圏を用いて構成できる
任意の随伴性から単子が得られ、Eilenberg-Moore対象を持つ双カテゴリーでは任意の単子から随伴性が得られる

Citations

"Monads are ubiquitous in both mathematics and computer science, and many different kinds of monads have been considered in various settings."
"The formal theory of monads provides a general setting to study various kinds of monads."
"Univalent foundations is an extension of intensional type theory with the univalence axiom."

Idées clés tirées de

The Formal Theory of Monads, Univalently

by Niels van de... à arxiv.org 09-11-2024

https://arxiv.org/pdf/2212.08515.pdf

Questions plus approfondies

単子の形式理論をどのように他の数学分野や計算機科学の応用に活かすことができるか?

単子の形式理論は、数学や計算機科学の多くの分野で広範な応用が可能です。特に、関数型プログラミングにおいては、単子は計算効果を抽象化するための強力なツールとして利用されます。例えば、Moggiの計算λ-計算や、呼び出しによる値の計算モデルにおいて、単子は副作用や非決定性を扱うための枠組みを提供します。また、単子は代数的理論を表現するためにも用いられ、代数的理論のクラスは単子のクラスと同等であることが示されています。このように、単子の形式理論は、プログラミング言語の意味論や、計算モデルの設計、さらにはデータベース理論やオペレーションズリサーチなど、さまざまな分野での理論的基盤を提供します。

単相的な基礎の中で、単子の形式理論以外にどのような重要な概念を定式化できるか?

単相的な基礎の枠組みの中では、単子の形式理論以外にも多くの重要な概念を定式化することができます。例えば、圏論における「圏」や「双圏」の概念は、単相的な基礎の中で自然に定義され、扱われます。また、同値性や同型性の概念も、単相的な基礎においては重要な役割を果たします。さらに、圏のホモトピー理論や、ホモトピー型理論における「ホモトピー圏」や「ホモトピー型」などの概念も、単相的な基礎の枠組みで定式化され、研究されています。これにより、数学のさまざまな分野における構造や性質をより深く理解するための道が開かれます。

単子の形式理論の概念を、より一般的な数学構造に拡張することはできないか?

単子の形式理論の概念は、より一般的な数学構造に拡張することが可能です。例えば、単子の概念は、圏論の枠組みを超えて、より高次の圏や双圏においても適用されます。特に、双圏における単子の定義は、通常の圏における単子の定義を一般化したものであり、双圏の構造を考慮に入れた形での単子の理論を構築することができます。また、単子の形式理論は、エンリッチド圏や、トポス理論などの他の数学的構造にも適用可能であり、これにより、計算効果や構造的性質をより広範に探求することができます。このように、単子の形式理論は、数学のさまざまな領域における理論的な枠組みを提供し、より一般的な構造への拡張を促進します。