特殊な有限体上の行列とその量子誤り訂正符号への応用

Concepts de base

特殊な行列を用いた行列積符号は量子誤り訂正符号の構築に重要な役割を果たす。本論文では、定義行列Aが特定の条件を満たす行列積符号の性質を明らかにする。

Résumé

本論文では、定義行列AがAA†が(D, τ)-単項行列を満たす行列積符号CA,kの性質を調べている。

具体的には以下の結果を示した:

1. CA,kのエルミート・ホールの次元を計算する明示的な公式を導出した。
2. CA,kがエルミート双対含有(HDC)、ほぼエルミート双対含有(AHDC)、エルミート自己直交(HSO)、ほぼエルミート自己直交(AHSO)、エルミートLCD符号となる必要十分条件を示した。
3. 構成符号C1, C2, ..., Ckの関係から、CA,kがHDC、AHDC、HSO、AHSOとなる全ての可能な方法を理論的に決定した。
4. CA,kがAHDCおよびAHSOとなる代替的な必要十分条件を示し、CA,kがAHDCやAHSOでない場合を示した。
5. HDCおよびAHDC行列積符号の構成法を与えた。

Stats

構成符号Ciの次元をtiとすると、
CA,kのエルミート・ホールの次元は Σ_i dim(Ci ∩ C_τ(i)^⊥H) である。
CA,kがAHDCとなるための必要十分条件は Σ_i (dim(C_τ(i)^⊥H) - dim(Ci ∩ C_τ(i)^⊥H)) = 1 である。
CA,kがAHSOとなるための必要十分条件は Σ_i (dim(Ci) - dim(Ci ∩ C_τ(i)^⊥H)) = 1 である。

Citations

なし

Idées clés tirées de

Special matrices over finite fields and their applications to quantum error-correcting codes

by Meng Cao à arxiv.org 05-06-2024

https://arxiv.org/pdf/2405.02285.pdf

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