在長時間服務可延後下次服務需求的排隊系統中，服務類型的最佳化和自我選擇

Concepts de base

在有多個客戶且服務時間影響下次服務需求的排隊系統中，選擇服務類型時，需要綜合考慮服務效率和系統閒置概率，才能最大化系統效率或個人效益。

Résumé

本研究探討了一個封閉式馬可夫排隊系統，其中包含 N 個客戶和兩種服務類型，其靈感來自於客戶加入隊列以補充其某些商品的庫存的情形。客戶需要決定他們的訂單大小——大訂單將會延長生產時間和下次補貨的時間（活動時間）。然而，生產時間和活動時間之間的關係可能很複雜。在某些情況下，生產時間是訂單大小的凸函數，而在某些情況下，活動時間是訂單大小的凹函數。一個重要的例子是具有隨機壽命的易腐爛產品。
關於排隊庫存系統，已有大量的文獻，例如 Karthikeyan 等人 (2016) 的調查。雖然這些系統也結合了隊列和補貨，但它們的動機非常不同，並且假設服務器維護著執行服務所需的某些原材料的庫存。這與我們的模型形成對比，在我們的模型中，庫存屬於客戶。我們的模型，當被視為一個庫存模型時，屬於日益增長的戰略客戶庫存系統文獻 (Glazer et al., 1986; Liu et al., 2014; He et al., 2019)。Liu 等人 (2014) 考慮了一個系統的庫存控制，其中生產成本包括固定成本和分段線性凸成本。He 等人 (2019) 研究了單一產品的聯合定價和庫存控制問題，其中生產成本包括固定成本和凸或凹變量成本。以上兩個模型都與 (1.1) 中的問題有關。
電動汽車充電的博弈論模型由 Deori 等人 (2018) 和 Dupont 等人 (2021) 描述。Schmidt 等人 (2014) 分析了電動運輸車輛的各種充電策略，其中經濟評估基於封閉系統中的現場實驗。Ravankar 等人 (2015) 根據機器人的任務優先級、位置感知和對接站，研究了將多個移動機器人分配到對接站的問題。Gao 等人 (2019) 考慮了將固定數量的移動機器人分配到充電站以最小化總充電時間的問題。Couture-Beil 等人 (2009)、Zou 等人 (2018) 和 Cheng 等人 (2021) 也分析了固定數量移動機器人的類似問題。Wang 等人 (2022) 考慮了一個可充電傳感器和一個移動充電器的封閉網絡，該移動充電器從一組離散的可能性中選擇最佳充電位置和功率級別。
一些開放網絡模型假設客戶享受更長時間的服務，就像在我們的案例中一樣。例如，請參閱 Ha (1998)、Ha (2001)、Yuen 等人 (2007)、Tong 等人 (2014)、Jacobovic (2022)、Feldman 等人 (2022) 以及 Hassin (2016) 第 6.3.2 節關於專家系統的內容。與我們的模型類似，Courcoubetis 等人 (1983) 考慮了一個由兩個玩家共享 FCFS 服務器並最大化他們的活動時間（對應於他們在服務中花費的時間）的封閉系統。與我們的案例一樣，活動和非活動時間呈指數分佈，但與我們的假設相反，它們是由客戶根據對其比率的外生約束決定的。
Benelli 等人 (2019) 首次研究了一個與我們類似的模型，他們考慮了一個由兩個客戶組成的系統，並假設系統的狀態對客戶來說是不可觀察的。作者推導了均衡存在的條件。他們還表明，不存在純粹的非對稱均衡，純粹的非對稱策略不可能是社會最優的，並且始終存在純粹的對稱均衡。
另一個類似的決策問題涉及廣告效果和最佳頻率（參見 Broussard, 2000; Glazer et al., 2010）。我們應該以低頻率進行昂貴的廣告活動，還是以更高的頻率進行便宜的廣告活動？在這些模型中，公司是決策者。

我們考慮一個封閉式馬可夫排隊系統，其中包含 N 個客戶和兩種服務類型。每個客戶在服務後保持活動狀態一段時間（呈指數分佈），然後返回接受下一次服務。如果服務器被佔用，則非活動客戶排隊等待服務。服務規則是先到先服務。服務時間呈指數分佈，服務類型有兩種：高速和低速。
如果客戶選擇高速服務，則她的預期服務時間將會縮短，但她的預期活動時間也會縮短。令 µh 和 λh、µl 和 λl 分別表示高速服務和低速服務的服務率和活動率。然後 µh > µl 且 λh > λl。
我們首先旨在最大化系統效率，即活動客戶的平均數量。為了計算效率，我們在狀態空間 S ≡{(i, h), i = 0, 1, . . . , N, h = 0, 1, . . . , N −i} 上構建了一個連續時間馬可夫過程，其中 i 和 h 分別表示非活動客戶的數量和以高速率活動的客戶的數量。請注意，其他 N −i −h 個客戶以低速率活動。

Idées clés tirées de

Optimal and Self Selection of Service Type in a Queueing System where Long Service Postpones the Need for the Next Service

by Refael Hassi... à arxiv.org 11-25-2024

https://arxiv.org/pdf/2208.09348.pdf

Questions plus approfondies

如何將模型擴展到多個服務器或多種服務類型的場景？

將模型擴展到多個服務器或多種服務類型的場景會顯著增加問題的複雜性，但可以通過以下方法進行：
多個服務器：

狀態空間擴展： 系統狀態需要包含每個服務器的狀態，例如隊列長度和當前服務類型。
路由策略： 需要定義客戶如何選擇服務器，例如，可以考慮最短隊列或加入概率等策略。
分析方法： 由於狀態空間的擴展，分析求解最佳策略變得更加困難，可能需要藉助近似算法或仿真方法。
多種服務類型：

狀態空間擴展： 系統狀態需要包含每個服務類型的客戶數量。
決策變量增加： 每個客戶需要從多種服務類型中進行選擇。
分析方法： 類似於多服務器的情況，分析求解最佳策略變得更加困難，可能需要探索更複雜的優化算法。
總之，擴展模型需要仔細考慮狀態空間、決策變量和分析方法的變化。

如果客戶不完全理性，例如他們無法準確估計其他客戶的策略，那麼均衡策略會如何變化？

如果客戶不完全理性，均衡策略會發生以下變化：

純策略均衡可能不存在： 由於客戶無法準確預測其他人的行為，純策略均衡可能不復存在，因為任何純策略都可能被其他客戶的非理性行為所利用。
混合策略均衡： 客戶可能會採用混合策略，即以一定的概率選擇不同的服務類型，以最大化預期收益，同時降低被其他客戶預測的可能性。
學習和適應： 客戶可能會根據觀察到的系統狀態和歷史信息動態調整他們的策略，例如使用強化學習等方法。
認知偏差： 客戶的決策可能會受到認知偏差的影響，例如過度自信、損失厭惡等，導致非理性的行為。
總之，在不完全理性情況下，均衡策略會變得更加複雜和難以預測，需要考慮客戶的學習能力、認知偏差和策略調整行為。

在實際應用中，例如電動汽車充電站，如何設計有效的機制來引導客戶選擇社會最優的服務類型？

在電動汽車充電站等實際應用中，可以通過以下機制引導客戶選擇社會最優的服務類型：

差異化收費： 對不同的服務類型實施差異化收費，例如，對快速充電收取更高的費用，對慢速充電提供折扣，以反映不同服務類型對系統效率的影響。
預約系統： 允許客戶提前預約充電時間和服務類型，以便充電站更好地管理資源和預測需求，減少排隊時間。
信息披露： 向客戶提供實時信息，例如充電站的擁堵狀況、不同服務類型的預計等待時間和價格等，幫助客戶做出更明智的選擇。
激勵機制： 對選擇社會最優服務類型的客戶提供獎勵，例如積分、優惠券或優先服務等，鼓勵客戶配合系統優化目標。
智能推薦： 利用人工智能算法，根據客戶的充電需求、時間安排和歷史行為等信息，推薦最優的服務類型，引導客戶做出有利於系統效率的選擇。
總之，通過設計合理的價格機制、信息披露策略和激勵措施，可以有效地引導客戶選擇社會最優的服務類型，提高電動汽車充電站等系統的整體效率。