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本文探討了具備可見擬雙曲測地線的定義域（簡稱 QH 可見性定義域）的特性，並證明了這些定義域等同於在歐幾里德閉包中沒有測地線環的 QH 可見性定義域。
תקציר
這篇研究論文探討了有界定義域中擬雙曲測地線的可見性。作者引入了 QH 可見性定義域的概念，並探討了其與格羅莫夫邊界和歐幾里德邊界等價性的關係。
以下是主要發現的摘要：
- QH 可見性定義域的定義：如果對於 ∂EucΩ 中任意兩個不同的點 p 和 q，存在一個緊緻集 K ⊂ Ω，使得對於任何連接 pk 和 qk 的擬雙曲測地線 γk : [0, T] → Ω（其中 pk → p 且 qk → q），存在一個正整數 k0，使得對於所有 k ≥ k0，γk([0, T]) ∩ K ≠ ∅，則稱 Rn 中的有界定義域 Ω 為 QH 可見性定義域。
- 格羅莫夫雙曲性和可見性：論文證明了如果 (Ω, kΩ) 是格羅莫夫雙曲的，則 Ω 是 QH 可見性定義域當且僅當恆等映射 id : (Ω, kΩ) → (Ω, dEuc) 可以擴展為從 ∂GΩ 到 ∂EucΩ 的連續滿射 Φ。此外，該擴展 Φ 是同胚當且僅當 Ω 在 ΩEuc 中沒有測地線環。
- QH 可見性定義域：論文提供了一個判定定義域是否為 QH 可見性定義域的一般準則。根據該準則，一致定義域、John 定義域和滿足擬雙曲邊界條件的定義域都是 QH 可見性定義域。
- 雙曲度量和擬雙曲度量的可見性：論文比較了平面雙曲定義域中雙曲度量和擬雙曲度量的可見性，並證明了對於格羅莫夫雙曲定義域，H 可見性和 QH 可見性是等價的。
- 擬共形等價於單位球的定義域的 QH 可見性：論文研究了擬共形等價於單位球的定義域的可見性，並證明了這些定義域是 QH 可見性定義域當且僅當它們沿著邊界是有限連通的。
- 擬雙曲準等距的連續擴展：論文研究了擬雙曲準等距的連續擴展，並證明了如果 Ω 是擬雙曲良態定義域且 Ω′ 是可見性定義域，則每個擬雙曲等距 f : (Ω, kΩ) → (Ω, kΩ) 都可以擴展為從 ΩEuc 到 Ω′Euc 的連續映射 F。
- Rn 中無界定義域的 QH 可見性：論文還研究了無界定義域的 QH 可見性，並證明了如果 Ω 關於擬雙曲度量是格羅莫夫雙曲的，則 Ω 是 QH 可見性定義域當且僅當 idΩ 可以擴展為從 ΩG 到 Ω∞ 的連續滿射 cidΩ，其中 Ω∞ 表示 ΩEuc 的單點緊化。
總之，這篇論文對 QH 可見性定義域進行了全面的研究，並建立了其與格羅莫夫雙曲性、擬共形映射和定義域幾何形狀之間的關係。
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Visible quasihyperbolic geodesics
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by Vasudevarao ... ב- arxiv.org 11-19-2024
https://arxiv.org/pdf/2306.03815.pdf
שאלות מעמיקות
如何將 QH 可見性定義域的概念推廣到其他度量空間？
要將 QH 可見性定義域的概念推廣到其他度量空間，需要考慮以下幾個方面：
擬雙曲度量的推廣:
首先需要將擬雙曲度量推廣到更一般的度量空間。並非所有度量空間都像 $\mathbb{R}^n$ 那樣具有自然的歐幾里德邊界和距離函數。
一種可能的推廣是考慮具有內度量的路徑度量空間。在這種情況下，可以使用到邊界點的距離來定義擬雙曲度量。
另外，也可以考慮使用其他度量來代替擬雙曲度量，例如 Gromov 雙曲空間中的 Gromov 度量。
測地線的定義:
在更一般的度量空間中，測地線的定義可能需要進行調整。
例如，可以使用局部測地線或擬測地線的概念來代替全局測地線。
可見性的定義:
QH 可見性的定義依赖于边界点的邻域和紧集的概念。
在更一般的度量空间中，可能需要使用更抽象的拓扑概念来定义边界和紧集。例如，可以使用 Gromov 边界或其他边界结构。
总而言之，将 QH 可见性定义域的概念推广到其他度量空间需要对拟双曲度量、测地线和可見性等概念进行适当的推广和调整。
是否存在非 QH 可見性定義域但其恆等映射可以擴展為從格羅莫夫邊界到歐幾里德邊界的連續滿射的例子？
是的，存在这样的例子。以下是一个简单的例子：
考虑 $\mathbb{R}^2$ 中的穿孔單位圓盤：
$$
\Omega = D \setminus {0},
$$
其中 $D = {z \in \mathbb{C} : |z| < 1}$。
$\Omega$ 不是 QH 可见性定义域。
考虑边界点 $p = 1$ 和 $q = -1$。
对于任何包含 $p$ 的邻域 $U$ 和包含 $q$ 的邻域 $V$，我们都可以找到一条连接 $U$ 中的点和 $V$ 中的点的拟双曲测地线，该测地线绕原点旋转任意多次。
因此，不存在一个紧集 $K$ 可以与所有连接 $U$ 和 $V$ 的拟双曲测地线相交。
然而，恒等映射可以扩展为从 Gromov 边界到欧几里德边界的连续满射。
$(\Omega, k_\Omega)$ 的 Gromov 边界和 $(\Omega, d_{\text{Euc}})$ 的欧几里德边界都是单位圆。
恒等映射可以自然地扩展到边界，并将单位圆映射到自身。
QH 可見性定義域的特性如何應用於複分析和其他數學領域？
QH 可见性定义域的特性在複分析和其他數學領域有以下應用：
擬共形映射的邊界行為: QH 可见性与拟共形映射的边界行为密切相关。例如，如果一个定义域是 QH 可见性定义域，那么它上面的拟共形自同构群的性质会得到很好的控制。
複動力系統: 在複動力系統中，QH 可见性可以用来研究迭代函数的 Julia 集的拓扑性质。
Teichmüller 理論: 在 Teichmüller 理论中，QH 可见性可以用来研究 Riemann 曲面的 Teichmüller 空间的几何性质。
度量幾何: QH 可见性是 Gromov 双曲性的一个重要例子，它在度量几何中有着广泛的应用。
总而言之，QH 可见性定义域的特性为研究度量空间的几何和拓扑性质提供了一个有用的工具，并在複分析、动力系统和度量几何等领域有着重要的应用。
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