扭曲的雅可比模塊：關於 D. Prasad 的猜想

מושגי ליבה

本文探討了 GL2(D) 主序列表示的子商的扭曲雅可比模塊的結構，其中 D 是非阿基米德局部域 F 上的除法代數，證明了 D. Prasad 關於 D 為四元數除法代數時 Sp(τ) 的扭曲雅可比模塊的猜想，並計算了 D 為任意除法代數時，深度為零的廣義 Speh 表示的扭曲雅可比模塊的維數。

תקציר

文獻資訊

Nadimpalli, S., & Sheth, M. (2024). Twisted Jacquet modules: A conjecture of D. Prasad. Journal of Number Theory, 257, 124–145.

研究目標

• 研究 GL2(D) 主序列表示的子商的扭曲雅可比模塊的結構，其中 D 是非阿基米德局部域 F 上的除法代數。
• 證明 D. Prasad 關於 D 為四元數除法代數時 Sp(τ) 的扭曲雅可比模塊的猜想。
• 計算 D 為任意除法代數時，深度為零的廣義 Speh 表示的扭曲雅可比模塊的維數。

研究方法

• 比較 GL2(D) 和 GL4(F) 的表示的芽展開，這些表示在雅可比-朗蘭茲對應下彼此對應。
• 利用 Moy 和 Prasad 的結果，證明了 I(1)-不變量與雅可比模塊的相容性。
• 使用 Minguez 和 Secherre 的結果，描述了第一個主同餘子群 K(1) 的不變量空間的關鍵部分。
• 使用高斯和的計算來確定 Sp(τ) 的扭曲雅可比模塊的顯式結構。

主要發現

• 當 D 為四元數除法代數時，Sp(τ)N,ψ 作為 D×-表示同構於 ωτ ◦NrD/F，其中 ωτ 是 τ 的中心特徵，NrD/F 是 D 的約化範數映射。
• 對於任意除法代數 D，自然映射 (τ1 × τ2)I(1),ψ0 → (τ1 × τ2)N,ψ 是一個同構。
• 對於深度為零的 τ，Sp(τ)N,ψ 的維數等於 d(d −1)/2，其中 d 是 τ 的維數。
• 當 d 為奇數時，D×-表示 Sp(τ)N,ψ 同構於外積表示。
• 當 d = 2 時，D×-表示 Sp(τ)N,ψ 是特徵 (θ ◦NrD/F)µ(−1)m+1。

主要結論

• 本文證明了 D. Prasad 的猜想，並將其推廣到任意除法代數的深度為零的情況。
• 本文計算了深度為零的廣義 Speh 表示的扭曲雅可比模塊的維數和顯式結構。

研究意義

• 本文的研究結果有助於更好地理解非分裂 p 進群的 Whittaker 模型。
• 本文的研究結果對理解 GL2(D) 的表示論具有重要意義。

研究限制和未來方向

• 本文僅考慮了深度為零的表示。
• 未來可以研究深度大於零的表示的扭曲雅可比模塊的結構。

סטטיסטיקה

當 τ 的維數 d 大於 2 時，Speh 表示不再支持唯一的 Whittaker 模型。
當 d 為奇數時，D×-表示 Sp(τ)N,ψ 同構於外積表示。
當 d = 2 時，D×-表示 Sp(τ)N,ψ 是特徵 (θ ◦NrD/F)µ(−1)m+1。

ציטוטים

"The multiplicity one property of the space of Whittaker models has been a central result in the representation theory of quasi-split reductive groups over local fields."
"The dimension of the space of generalized Whittaker models is a useful invariant to measure the growth of a representation and can be greater than one for general p-adic reductive groups."
"Nonetheless, the spaces of Whittaker models seem to be far from being well understood, especially for non-quasi-split p-adic groups."

תובנות מפתח מזוקקות מ:

Twisted Jacquet modules: a conjecture of D. Prasad

by Santosh Nadi... ב- arxiv.org 10-10-2024

https://arxiv.org/pdf/2310.00735.pdf

שאלות מעמיקות

如何將本文的結果推廣到更一般的約簡群？

本文研究了 GL2(D) 的扭曲雅可比模塊，其中 D 是非阿基米德局部域 F 上的除法代數。 作者主要關注於推導 Speh 表示的扭曲雅可比模塊的維數公式，並明確描述了它們作為 D×-表示的結構，特別是在 D 為四元數除法代數和深度零主序列表示的情況下。
將這些結果推廣到更一般的約簡群是一個自然且重要的問題。 以下是一些可能的研究方向：

更高的 GLn(D)： 一個直接的推廣是考慮更高秩的一般線性群 GLn(D) 的扭曲雅可比模塊。 可以嘗試將本文中使用的技術（例如，germ expansions 和與 GL2n(F) 的 Jacquet-Langlands 對應）推廣到這種情況。 然而，隨著秩的增加，表示論變得更加複雜，可能需要新的想法和方法。
其他約簡群： 除了 GLn(D) 之外，還可以考慮其他約簡群，例如辛群、正交群和酉群。 這些群體的表示論與 GLn(D) 密切相關，可以預期本文中的一些結果可以推廣到這些情況。 然而，每個群體都有其獨特的特點和挑戰，需要仔細研究。
更高的深度表示： 本文主要關注深度零表示。 研究更高深度表示的扭曲雅可比模塊將是一個有趣且具有挑戰性的問題。 這可能需要更深入地了解這些表示的結構以及新的技術來計算它們的扭曲雅可比模塊。
總之，將本文的結果推廣到更一般的約簡群是一個富有成果的研究方向，可能會導致對約簡群表示論有更深入的了解。

是否存在其他方法可以計算扭曲雅可比模塊的維數和結構？

除了本文中使用的 germ expansions 和 Iwahori 分解方法外，還有一些其他方法可用於計算扭曲雅可比模塊的維數和結構。 以下列舉一些例子：

几何方法： 可以使用與表示論相關的几何對象（例如，旗流形和軌道積分）來研究扭曲雅可比模塊。 例如，可以利用軌道積分的性質來計算扭曲雅可比模塊的字符，從而推導出其維數和結構信息。
Hecke 代數方法： 扭曲雅可比模塊與某些 Hecke 代數的表示密切相關。 可以通過分析這些 Hecke 代數的結構和表示來獲得有關扭曲雅可比模塊的信息。 這種方法在研究深度大於零的表示時特別有用。
計算方法： 對於某些特定的群體和表示，可以使用計算機程序來計算扭曲雅可比模塊的維數和結構。 這些計算可以提供有關這些模塊結構的寶貴見解，並有助於形成更一般的猜想。
每種方法都有其自身的優缺點，選擇合適的方法取決於具體的研究問題和所考慮的群體和表示。

本文的研究結果對 Langlands 綱領有什麼影響？

Langlands 綱領是數學中一系列影響深遠的猜想，將數論、代數幾何和表示論聯繫起來。 扭曲雅可比模塊在 Langlands 綱領中扮演著重要的角色，因為它們與自守表示的 Whittaker 模型密切相關。
本文通過計算某些 Speh 表示的扭曲雅可比模塊的維數和結構，為 Langlands 綱領的研究提供了新的工具和見解。 這些結果可以應用於以下幾個方面：

局部 Langlands 對應： 局部 Langlands 對應猜想存在一個從 Weil-Deligne 群的表示到約簡群的不可約表示的對應關係。 扭曲雅可比模塊可以用於構造和分類這些局部表示，從而有助於理解局部 Langlands 對應。
自守表示論： 自守表示是 Langlands 綱領的核心研究對象。 扭曲雅可比模塊可以用於研究自守表示的性質，例如，它們的 Whittaker 模型的存在性和唯一性。
數論應用： Langlands 綱領在數論中有許多應用，例如，對 L 函數的特殊值的猜想。 本文的研究結果可能有助於推導新的數論結果，並加深對 Langlands 綱領與數論之間聯繫的理解。
總之，本文的研究結果為 Langlands 綱領的研究提供了新的思路和方法，並可能促進該領域的進一步發展。