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本文提出了一種基於二元狀態謂詞、chop 運算和最小不動點的表達性軌跡邏輯，用於精確描述包含遞迴過程的程式，並設計了一個組合證明演算來證明有限軌跡程式屬性。
תקציר
論文概述
本論文提出了一種新的軌跡邏輯，用於描述和驗證包含遞迴過程的程式。該邏輯基於有限軌跡語義，並使用二元狀態謂詞、chop 運算和最小不動點來表達程式的行為。
主要貢獻
- 表達性軌跡邏輯： 提出了一種新的軌跡邏輯，能夠精確描述包含遞迴過程的程式的行為。
- 組合證明演算： 設計了一個組合證明演算，用於證明程式滿足特定軌跡公式。
- 完備性證明： 證明了該證明演算是完備的，即所有有效的程式軌跡公式都可以被證明。
- 程式與公式的對應關係： 建立了程式與軌跡公式之間的對應關係，並證明了它們之間存在伽羅瓦連接。
軌跡邏輯的語義
該邏輯的語義基於程式的有限軌跡。軌跡是指程式執行過程中經過的一系列狀態。邏輯公式用於描述軌跡的屬性，例如：
- 二元狀態謂詞： 描述兩個相鄰狀態之間的關係，例如
Id表示狀態不變，Sba表示變數x的值根據表達式a進行更新。 - Chop 運算： 將兩個軌跡連接起來，例如
ϕ1⌢ϕ2表示先執行滿足ϕ1的軌跡，然後執行滿足ϕ2的軌跡。 - 最小不動點： 用於描述遞迴過程的行為，例如
µX.ϕ表示滿足ϕ的最小軌跡集合，其中X可以遞迴地出現在ϕ中。
證明演算
論文中設計了一個組合證明演算，用於證明程式滿足特定軌跡公式。該演算包含以下規則：
- Skip 規則： 證明
skip語句滿足Id公式。 - Assign 規則： 證明賦值語句
x := a滿足Sba公式。 - Seq 規則： 證明順序語句
S1; S2滿足ϕ1⌢ϕ2公式，其中S1滿足ϕ1，S2滿足ϕ2。 - If 規則： 證明條件語句
if b then S1 else S2滿足ϕ公式，其中S1滿足¬b ∨ϕ，S2滿足b ∨ϕ。 - Call 規則： 證明過程調用語句
m()滿足Id⌢ϕm公式，其中m的過程體滿足ϕm。
結論
本論文提出了一種新的軌跡邏輯和證明演算，為包含遞迴過程的程式的形式化驗證提供了一個強大的框架。
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An Expressive Trace Logic for Recursive Programs
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שאלות מעמיקות
如何將該軌跡邏輯擴展到處理並發程式？
將此軌跡邏輯擴展到處理並發程式是一個挑戰，但也是一個重要的研究方向。以下是一些可能的方法：
引入並行運算符: 可以引入新的邏輯運算符來表示並行組合，例如並行組合運算符 “||”。 語義上，ϕ1 || ϕ2 可以表示為所有可能的交織執行 ϕ1 和 ϕ2 所產生的軌跡集合。
處理競爭條件: 並發程式中經常出現競爭條件，需要設計新的邏輯規則來推理競爭條件下的程式行為。例如，可以使用分離邏輯（Separation Logic）的概念來推理共享資源的訪問。
擴展語義模型: 需要將語義模型從單個線性軌跡擴展到表示並發執行的更複雜的結構，例如偏序軌跡或事件結構。
設計新的證明規則: 需要設計新的證明規則來處理並行運算符和競爭條件。例如，可以借鑒並發分離邏輯（Concurrent Separation Logic）的證明系統。
總之，將此軌跡邏輯擴展到並發程式需要對邏輯語法、語義和證明系統進行非平凡的擴展，並且需要仔細處理並發程式特有的挑戰，例如競爭條件和原子性。
是否可以設計一個自動化的定理證明器來驗證基於該邏輯的程式規範？
設計一個完全自動化的定理證明器來驗證基於該邏輯的程式規範是困難的，因為該邏輯是圖靈完備的，這意味著驗證問題是不可判定的。
然而，可以開發一些工具和技術來部分自動化驗證過程，例如：
開發基於 SMT 求解器的驗證器: 可以將該邏輯的一部分編碼到 SMT 求解器可處理的理論中，例如線性整數算術或數組理論。這樣，可以使用 SMT 求解器來自動化驗證程式規範的一部分。
開發交互式定理證明器: 可以開發交互式定理證明器，允許用戶指導證明過程。用戶可以提供證明策略或證明過程中需要的關鍵引理，而定理證明器可以自動化證明的其餘部分。
開發基於模型檢查的技術: 對於某些類型的程式和規範，可以使用模型檢查技術來驗證程式是否滿足規範。模型檢查技術可以自動化地探索程式的狀態空間，並檢查程式是否滿足規範。
總之，雖然完全自動化地驗證基於該邏輯的程式規範是不可行的，但是可以開發一些工具和技術來部分自動化驗證過程，例如基於 SMT 求解器的驗證器、交互式定理證明器和基於模型檢查的技術。
該邏輯與其他形式化驗證方法（例如模型檢查）相比有哪些優缺點？
與其他形式化驗證方法相比，該邏輯具有以下優缺點：
優點:
表達能力強: 該邏輯基於軌跡公式，可以表達程序執行過程中的豐富屬性，而不仅仅是程序的初始状态和最终状态。例如，可以使用該邏輯來指定程序在執行過程中是否滿足某些條件，或者程序是否按照特定的順序執行了某些操作。
組合性: 該邏輯的語義和證明系統都是組合的，這意味著可以通過組合子程序的規範來推導出整個程序的規範。
完備性: 該邏輯的證明系統是完備的，這意味著如果一個程序滿足某个規範，則可以使用該邏輯的證明系統證明該程序滿足該規範。
缺點:
狀態空間爆炸: 由於該邏輯基於軌跡公式，因此在驗證程序時需要考慮程序所有可能的執行軌跡，這可能導致狀態空間爆炸問題。
自動化程度低: 由於該邏輯的表達能力強，因此設計一個完全自動化的定理證明器來驗證基於該邏輯的程序規範是困難的。
與模型檢查相比:
表達能力: 該邏輯的表達能力通常比模型檢查使用的邏輯（例如計算樹邏輯 CTL）更強。
狀態空間爆炸: 模型檢查更容易受到狀態空間爆炸問題的影響，因為模型檢查需要枚舉程序的所有可能狀態。
自動化程度: 模型檢查通常比基於該邏輯的驗證方法更容易自動化。
總之: 該邏輯是一種表達能力強、組合性好的程序驗證方法，但它也面临着状态空间爆炸和自动化程度低的挑战。在选择使用哪种程序驗證方法时，需要根据具体的应用场景和需求进行权衡。
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