מושגי ליבה
이 논문은 일반적인 비선형 시간 종속 슈뢰딩거 방정식에 대한 Feynman-Kac 공식을 제시한다. 이 공식은 Fisk-Stratonovich 적분과 Itô 적분을 모두 포함하는 후방 확률 미분 방정식 프레임워크에 통합된다. 이 Feynman-Kac 표현을 활용하여 딥 러닝 기반 수치 근사 방법을 제안한다. 수치 실험을 통해 제안된 방법의 정확성과 효율성을 검증하고, 결과를 뒷받침하는 수렴 분석을 제공한다.
תקציר
이 논문은 일반적인 비선형 시간 종속 슈뢰딩거 방정식에 대한 Feynman-Kac 공식을 제시한다. 이 공식은 Fisk-Stratonovich 적분과 Itô 적분을 모두 포함하는 후방 확률 미분 방정식 프레임워크에 통합된다.
주요 내용은 다음과 같다:
슈뢰딩거 방정식의 고전적 해와 약해에 대한 Feynman-Kac 공식을 제시한다. 이를 통해 슈뢰딩거 방정식의 해와 후방 확률 미분 방정식의 해 사이의 관계를 밝힌다.
제안된 Feynman-Kac 공식에서 발생하는 몇 가지 열린 문제를 제시한다. 이는 순수 확률론적 방법을 사용하여 후방 확률 미분 방정식의 해를 구하는 데 있어서의 어려움을 나타낸다.
딥 러닝 기반 수치 근사 방법을 제안하고, 이를 통해 선형 및 비선형 슈뢰딩거 방정식을 효과적으로 해결할 수 있음을 보인다. 수치 실험 결과는 제안된 방법의 정확성과 효율성을 입증한다.
제안된 알고리즘의 수렴 분석을 제공하여 결과를 뒷받침한다.
סטטיסטיקה
슈뢰딩거 방정식의 해 u(t, x)와 그 미분 ∂tu, ∂xu, ∂xxu, ∂xxxu, ∂xxxxu, ∂t∂xu, ∂t∂xxu는 연속 함수이며 L2([0, T] × Rd; R)에 속한다.
함수 f(y)는 y에 대해 Lipschitz 연속이며, 상수 L > 0가 존재한다.
ציטוטים
"이 논문은 일반적인 비선형 시간 종속 슈뢰딩거 방정식에 대한 Feynman-Kac 공식을 제시한다."
"제안된 Feynman-Kac 공식을 활용하여 딥 러닝 기반 수치 근사 방법을 제안한다."