同変 Witt コホモロジーにおける仮想局所化

Alapfogalmak

SL2 のトーラスの正規化群による作用の下で、Chow 群を適切にツイストした Witt 群の層のコホモロジーに置き換えることで、Graber-Pandharipande の仮想局所化定理の類似が成り立つ。

Kivonat

Levine, M. (2024). Virtual Localization in Equivariant Witt Cohomology. arXiv:2203.15887v4 [math.AG].

本論文は、SL2 のトーラスの正規化群による作用を伴うスキームに対して、Graber-Pandharipande によって証明された仮想局所化定理の類似を、Chow 群を適切にツイストした Witt 群の層のコホモロジーに置き換えることで証明することを目的とする。

Főbb Kivonatok

Virtual Localization in equivariant Witt cohomology

by Marc Levine : arxiv.org 11-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2203.15887.pdf

Mélyebb kérdések

Chow-Witt 群以外の「二乗的に強化された」理論、例えば Milnor K-理論などにも拡張できるだろうか？

Milnor K-理論などの他の「二乗的に強化された」理論への拡張可能性は、興味深い問題です。本論文の結果は、Witt群の特殊な性質、特にその双対性とSL2の表現論との関連性に大きく依存しています。
Milnor K-理論の場合、Chow-Witt群と同様に、モティヴィックコホモロジーとして表現できます。しかし、その双対性と表現論的な側面はWitt群とは異なります。したがって、直接的な拡張は難しい可能性があります。
ただし、本論文のアプローチの一部、例えば代数的Borel構成を用いた同変理論の構成や、Vistoliの補題のモチーヴィック版などは、より一般的な設定にも適用できる可能性があります。Milnor K-理論への拡張のためには、その理論に適した双対性と表現論的な構造を理解し、それらを本論文の手法と組み合わせる必要があるでしょう。

本論文では、G が SL2 のトーラスの正規化群 N の場合を扱っているが、より一般的な群 G に対して、同様の仮想局所化定理は成り立つだろうか？

より一般的な群 G に対する同様の仮想局所化定理の可能性は、重要な未解決問題です。本論文では、G = N の場合に、N の表現論と Witt 群の双対性を巧みに利用することで仮想局所化定理を証明しています。
より一般的な群 G に対しては、G の表現論が複雑になるため、同様の議論を直接適用することは困難です。特に、G-同変 Euler 類の適切な類似物を定義し、それらを用いた局所化が有効な情報を与えるようにする必要があります。
ただし、本論文の手法やアイデアは、より一般的な設定における研究の出発点となる可能性があります。例えば、G が簡約群の場合、その表現論はよく理解されており、適切な修正を加えることで、本論文の結果を拡張できるかもしれません。

仮想局所化定理を用いることで、どのような新しい不変量を定義できるだろうか？

仮想局所化定理は、従来の方法では計算が困難であった不変量を、固定点集合の情報から計算することを可能にする強力なツールです。本論文の結果を用いることで、特に「二乗的に強化された」理論における新しい不変量を定義できる可能性があります。
例えば、以下のような不変量が考えられます。

同変 Donaldson-Thomas 不変量の Witt 群版: Donaldson-Thomas 不変量は、モジュライ空間上の仮想基本類を用いて定義されます。本論文の結果を用いることで、この不変量の Witt 群版を定義し、モジュライ空間のより詳細な情報を捉えることができる可能性があります。
新しいモチーヴィック不変量: 本論文で示された手法は、Chow-Witt 群だけでなく、より一般的なモチーヴィックコホモロジー理論にも適用できます。これにより、従来の不変量では捉えきれない幾何学的情報を反映した、新しいモチーヴィック不変量を定義できる可能性があります。
これらの不変量は、代数幾何学、数え上げ幾何学、表現論などの様々な分野において、新しい知見をもたらす可能性を秘めています。