이 논문은 compact 부분 다양체 및 compact Riemannian 다양체에서 함수를 수치적으로 적분하는 방법을 제안한다.
먼저 $\mathbb{R}^n$에 포함된 compact 부분 다양체의 경우를 다룬다. 경계가 없는 compact 초면의 경우, 가우스 공식을 이용하여 각 표본점에서의 체적 요소를 계산할 수 있다. 이를 통해 함수 적분을 근사할 수 있다. 경계가 있는 경우에는 원래 다양체를 두께를 가진 새로운 다양체로 확장하여 경계 없는 경우로 환원시킨다. 더 높은 코차원의 부분 다양체의 경우, 튜브 이웃의 경계를 고려하여 문제를 해결한다.
이러한 방법은 compact Riemannian 다양체로 일반화할 수 있다. 이 경우 라플라스 방정식의 기본해를 이용하여 지시 함수를 표현하고, 이를 이용해 체적 요소를 계산할 수 있다. 이를 통해 compact 영역의 경계에서 함수를 적분할 수 있다.
제안된 방법은 Riemannian 다양체에 명시적으로 내장되지 않은 경우에도 적용할 수 있다. 이는 Riemannian 다양체 상의 Green 함수 또는 열 핵을 이용한 다른 적분 공식을 사용하여 구현할 수 있다.
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