Informationsgeometrische Regularisierung der baroklinen Euler-Gleichung

Alapfogalmak

Die Arbeit präsentiert eine neuartige, inviskose Regularisierung der mehrdimensionalen Euler-Gleichung, die auf Konzepten aus der semidefiniten Programmierung, der Informationsgeometrie, der geometrischen Hydrodynamik und der nichtlinearen Elastizität basiert. Die Regularisierung ersetzt die euklidische Geometrie des Phasenraums durch eine geeignete Informationsgeometrie, um die Bildung von Stoßwellen zu verhindern.

Kivonat

Die Arbeit befasst sich mit der numerischen Schwierigkeit der Bildung von Stoßwellen in kompressiblen Strömungen. Stoßwellen zeichnen sich durch Unstetigkeiten in Geschwindigkeit und Dichte des Fluids aus und verhindern die Existenz klassischer Lösungen der kompressiblen Euler-Gleichungen. Schwache "Entropie"-Lösungen werden üblicherweise durch viskose Regularisierung definiert, aber selbst geringe Viskosität kann das Langzeitverhalten der Lösung erheblich verändern.

Die Arbeit präsentiert die erste inviskose Regularisierung der mehrdimensionalen Euler-Gleichung, die auf Ideen aus der semidefiniten Programmierung, der Informationsgeometrie, der geometrischen Hydrodynamik und der nichtlinearen Elastizität basiert. Aus einer Lagrange'schen Perspektive entspricht die Stoßwellenbildung in Entropielösungen inelastischen Kollisionen von Fluidpartikeln. Ihre Trajektorien ähneln denen des projizierten Gradientenabstiegs auf einer zulässigen Menge sich nicht überschneidender Pfade. Die Regularisierung ersetzt diese Trajektorien durch Lösungspfade von Innere-Punkte-Methoden, die auf logarithmischen Barrierefunktionen basieren. Diese Pfade sind Geodätenkurven in Bezug auf die durch die Barrierefunktion induzierte Informationsgeometrie.

Die Arbeit erweitert diese Idee auf unendliche Familien von Pfaden, indem sie die Euler-Gleichungen als dynamisches System auf einer Diffeomorphismenmannigfaltigkeit auffasst. Die Regularisierung bettet diese Mannigfaltigkeit in einen informationsgeometrischen Umgebungsraum ein und stattet sie mit einer geodätisch vollständigen Geometrie aus. Durch Umformulierung der resultierenden Lagrange'schen Gleichungen in Eulerscher Form wird eine regularisierte Euler-Gleichung in Erhaltungsform hergeleitet. Numerische Experimente für ein- und zweidimensionale Probleme zeigen die Leistungsfähigkeit des Verfahrens.

Statisztikák

Die Stoßwellenbildung in kompressiblen Strömungen wurde für eine Vielzahl von Strömungen bewiesen.
Schwache "Entropie"-Lösungen der Euler-Gleichungen werden üblicherweise durch Grenzwertbildung viskos regularisierter Navier-Stokes-Lösungen definiert.
Selbst geringe Viskosität kann das Langzeitverhalten der Lösung erheblich verändern.

Idézetek

"Stoßwellen zeichnen sich durch Unstetigkeiten in Geschwindigkeit und Dichte des Fluids aus und verhindern die Existenz klassischer Lösungen der kompressiblen Euler-Gleichungen."
"Aus einer Lagrange'schen Perspektive entspricht die Stoßwellenbildung in Entropielösungen inelastischen Kollisionen von Fluidpartikeln."
"Die Regularisierung ersetzt diese Trajektorien durch Lösungspfade von Innere-Punkte-Methoden, die auf logarithmischen Barrierefunktionen basieren. Diese Pfade sind Geodätenkurven in Bezug auf die durch die Barrierefunktion induzierte Informationsgeometrie."

Főbb Kivonatok

Information geometric regularization of the barotropic Euler equation

by Ruij... : arxiv.org 03-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2308.14127.pdf

Mélyebb kérdések

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