安定な解への近似と摂動 - 定常平均場ゲームシステムの解析

Core Concepts

本研究は、安定な平均場ゲームシステムの解の数値解析のための新しい一般的なアプローチを紹介する。特に定常ケースに焦点を当て、バナッハ空間における抽象的な枠組みを提案し、安定な解が正則解であることを示す。この性質を利用して、安定な解の感度解析、有限要素法による近似解の誤差評価、ニュートン法の収束性を示す。

Abstract

本研究は、平均場ゲーム(MFG)システムの数値解析に関する新しい一般的なアプローチを提案している。

まず、定常MFGシステム(1)の解の存在性と一意性を示す。次に、安定な解の定義を与え、その性質を明らかにする。特に、単調な結合関数の場合や割引率が十分大きい場合には、(1)の古典解はすべて安定であることを示す。

次に、(1)をバナッハ空間X上の抽象的な方程式F(u, m) = 0と定式化する。安定な解(u, m)に対して、F'[u, m]が同型写像であることを示す。この性質を利用して、以下の3つの応用を示す:

1. 安定な解の感度解析
2. 有限要素法による近似解の誤差評価
3. ニュートン法の収束性

最後に、ホルダー空間とソボレフ空間における写像Fの微分可能性を示す。

Stats

λ > 2 ∥m0∥L∞, K2/2 + ∥m0∥L∞∥f'∥L∞の場合、(u, m)は安定解である。ここで、Kは定数。
f'≥0の場合、(1)の唯一の古典解は安定解である。

Quotes

なし

Key Insights Distilled From

Approximation and perturbations of stable solutions to a stationary mean field game system

by Jules Berry ... at arxiv.org 04-05-2024

https://arxiv.org/pdf/2402.16377.pdf

Deeper Inquiries

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