真の システム の次数より高い次数の入出力モデルを用いた再帰最小二乗法に基づく入出力システム同定の収束性

Core Concepts

次数の不一致がある場合でも、再帰最小二乗法を用いて同定された高次の入出力モデルは、真のシステムと等価な高次モデルに収束する。

Abstract

本論文では、入出力モデルの同定における次数の不一致の場合について分析を行っている。

まず、入出力モデルの等価性の概念を導入し、等価性の必要十分条件を示した。さらに、低次の等価モデルが存在する場合の可約性の概念を定義した。

次に、再帰最小二乗法を用いた入出力モデルの同定について考察した。真のシステムの次数と同じ次数のモデルを同定する場合は、持続的励起条件の下で推定誤差が大域的漸近安定となることを示した。

一方、真のシステムの次数よりも高次のモデルを同定する場合は、持続的励起条件が成り立たないため、標準的な収束性の保証は適用できない。しかし、この場合でも、再帰最小二乗法によって同定された高次モデルは、真のシステムと等価な高次モデルのうち、正則化項を最小化するものに収束することを示した。

Stats

真のシステムの次数を n、同定モデルの次数を ˆ
n とすると、以下の式が成り立つ。
yk = −Fn,ˆ
n−nYk,n + Gn,ˆ
n−nUk,n
ˆ
yk = −ˆ
Fn,ˆ
n−nYk,n + ˆ
Gn,ˆ
n−nUk,n

Quotes

"次数の不一致がある場合でも、再帰最小二乗法を用いて同定された高次の入出力モデルは、真のシステムと等価な高次モデルに収束する。"
"持続的励起条件が成り立たない場合でも、同定された高次モデルは真のシステムと等価な高次モデルのうち、正則化項を最小化するものに収束する。"

Key Insights Distilled From

Convergence of Recursive Least Squares Based Input/Output System Identification with Model Order Mismatch

by Brian Lai,De... at arxiv.org 04-18-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.10850.pdf

Deeper Inquiries

質問1

未知のシステムの次数の場合、最適な同定モデルの次数を選択する方法はいくつかあります。まず、異なる次数のモデルを比較し、モデルの複雑さと適合度のバランスを考慮して選択する方法があります。モデルの次数が高すぎると過学習のリスクがありますが、低すぎるとシステムの特性を正確に捉えられない可能性があります。そのため、クロスバリデーションや情報量基準などの手法を使用して適切な次数を選択することが重要です。

質問2

持続的励起条件が満たされない場合、他の収束性の保証は限定される可能性があります。持続的励起条件が満たされないと、同定アルゴリズムが収束しない可能性が高くなります。そのため、収束性を保証するためには他の条件やアプローチが必要となります。例えば、正則化項の調整や収束性を保証するための修正されたアルゴリズムの使用などが考えられます。

質問3

本手法を実際のシステム同定に適用する際の課題や留意点はいくつかあります。まず、モデルの次数の選択が重要であり、適切な次数を選択することが必要です。また、持続的励起条件の確保やノイズの影響の考慮、計算リソースの管理なども重要な課題です。さらに、実際のシステムではモデルの複雑さや非線形性などが考慮される必要があります。そのため、実際のシステム同定においては慎重なモデル設計と適切なアルゴリズムの選択が重要です。