Eine vergleichende Analyse von Markov-Ketten- und Koopman-Operator-basierten datengetriebenen Modellierungen dynamischer Systeme

Core Concepts

Markov-Ketten- und Koopman-Operator-basierte Modellierung sind zwei populäre Ansätze für die datengetriebene Modellierung dynamischer Systeme. Während sie für autonome Systeme ähnliche Eigenschaften aufweisen, unterscheiden sich die Modelle und Steuerungsdesignmethoden für gesteuerte Systeme.

Abstract

Der Artikel vergleicht die Markov-Ketten- und Koopman-Operator-basierten Ansätze für die datengetriebene Modellierung dynamischer Systeme.
Für autonome Systeme werden die Ähnlichkeiten der beiden Ansätze aus Sicht der Berechnung und Praxis erläutert. Beide Ansätze kartieren den Systemzustand auf einen neuen Zustand (Wahrscheinlichkeitsverteilung oder angehobenen Zustand) ab und verwenden ein lineares Systemmodell zur Vorhersage des zukünftigen Zustands. Die Kalibrierung der linearen Modelle erfolgt durch Lösen eines Optimierungsproblems. Schließlich wird der ursprüngliche Systemzustand aus dem vorhergesagten neuen Zustand durch einen Dekodierungsprozess rekonstruiert.
Für gesteuerte Systeme unterscheiden sich die Modelle und Steuerungsdesignmethoden der beiden Ansätze. Der Markov-Ketten-basierte Ansatz modelliert das System als kontrollierte Markov-Kette und verwendet Methoden wie die Werteiterationsverfahren für das Steuerungsdesign. Der Koopman-Operator-basierte Ansatz liefert lineare oder bilineare Modelle, für die modellprädiktive Regelung verwendet werden kann.
Numerische Beispiele auf Basis des Van-der-Pol-Oszillators illustrieren die Vorhersagegenauigkeit und Recheneffizienz der beiden Ansätze für autonome und gesteuerte Systeme. Der Koopman-Operator-basierte Ansatz zeigt eine höhere Genauigkeit als der Markov-Ketten-basierte Ansatz für autonome Systeme. Für gesteuerte Systeme liefern der Markov-Ketten-basierte Ansatz mit Werteiterationsverfahren und der Koopman-Operator-basierte bilineare Ansatz mit modellprädiktiver Regelung ähnlich gute Ergebnisse wie die nichtlineare modellprädiktive Regelung, bei deutlich geringerer Rechenzeit.

Stats

Die Trajektorie des ungesteuerten Van-der-Pol-Oszillators konvergiert gegen einen globalen Grenzzyklus.
Die Trajektorie des gesteuerten Van-der-Pol-Oszillators konvergiert unter den Reglern, die auf dem Markov-Ketten-Modell mit Werteiterationsverfahren und dem Koopman-Operator-basierten bilinearen Modell mit modellprädiktiver Regelung basieren, zum Ursprung.
Die Rechenzeit für den Markov-Ketten-basierten Regler mit Werteiterationsverfahren beträgt 95,4 ms (gesamt), für den Koopman-Operator-basierten linearen MPC-Regler 2,1 ms (pro Schritt), für den Koopman-Operator-basierten bilinearen MPC-Regler 34,7 ms (pro Schritt) und für die nichtlineare MPC 272,7 ms (pro Schritt).

Quotes

"Markov-Ketten-basierte Modellierung und Koopman-Operator-basierte Modellierung sind zwei populäre Ansätze für die datengetriebene Modellierung dynamischer Systeme."
"Für gesteuerte Systeme unterscheiden sich die Modelle und Steuerungsdesignmethoden der beiden Ansätze."

Key Insights Distilled From

A Comparison between Markov Chain and Koopman Operator Based Data-Driven Modeling of Dynamical Systems

by Saeid Tafazz... at arxiv.org 04-02-2024

https://arxiv.org/pdf/2310.05508.pdf

Deeper Inquiries

Wie können die Modellierungsfehler der linearen Koopman-Operator-basierten Modelle in der Nähe des Ursprungs weiter reduziert werden?

Um die Modellierungsfehler der linearen Koopman-Operator-basierten Modelle in der Nähe des Ursprungs weiter zu reduzieren, können verschiedene Ansätze verfolgt werden. Einer davon ist die Verwendung von höheren Ableitungen der nichtlinearen Dynamiksfunktion als Basisfunktionen. Durch die Integration dieser höheren Ableitungen in die Basisfunktionen kann eine genauere Modellierung der nichtlinearen Dynamik in der Nähe des Ursprungs erreicht werden. Dies ermöglicht eine bessere Anpassung des linearen Modells an die tatsächliche Systemdynamik und reduziert somit die Modellierungsfehler. Darüber hinaus kann die Erweiterung der Basisfunktionen um zusätzliche relevante Merkmale des Systems dazu beitragen, die Genauigkeit des linearen Koopman-Operator-Modells zu verbessern und die Fehler in der Nähe des Ursprungs zu minimieren.

Welche Auswirkungen haben alternative Verlustfunktionen bei der Kalibrierung der Markov-Ketten- und Koopman-Operator-basierten Modelle auf deren Genauigkeit und Steuerungsperformanz?

Die Wahl der Verlustfunktion bei der Kalibrierung der Markov-Ketten- und Koopman-Operator-basierten Modelle kann signifikante Auswirkungen auf deren Genauigkeit und Steuerungsperformanz haben. Bei der Markov-Ketten-Modellierung kann die Verwendung alternativer Verlustfunktionen wie beispielsweise die Maximierung des größten Fehlers anstelle des durchschnittlichen quadratischen Fehlers zu einer besseren Anpassung des Modells an die Daten führen. Dies kann dazu beitragen, Ausreißer in den Daten besser zu berücksichtigen und die Vorhersagegenauigkeit des Modells zu verbessern. Auf der anderen Seite kann die Wahl einer geeigneten Verlustfunktion bei der Koopman-Operator-Modellierung dazu beitragen, die Modellgenauigkeit zu optimieren, insbesondere in Bezug auf die Dynamik des Systems. Durch die Berücksichtigung der Systemdynamik in der Verlustfunktion können die Koopman-Operator-basierten Modelle präzisere Vorhersagen treffen und somit die Steuerungsperformanz verbessern.

Wie lassen sich die Vorteile der Markov-Ketten-basierten Steuerung (hohe Recheneffizienz) und der Koopman-Operator-basierten Steuerung (hohe Genauigkeit) in einem hybriden Ansatz kombinieren?

Um die Vorteile der Markov-Ketten-basierten Steuerung, die eine hohe Recheneffizienz bietet, mit den Vorteilen der Koopman-Operator-basierten Steuerung, die eine hohe Genauigkeit aufweist, in einem hybriden Ansatz zu kombinieren, können verschiedene Strategien verfolgt werden. Eine Möglichkeit besteht darin, die Koopman-Operator-Modelle zur präzisen Modellierung der Systemdynamik zu verwenden und die daraus abgeleiteten Steuerungssignale als Referenz für die Markov-Ketten-basierte Steuerung zu nutzen. Auf diese Weise kann die hohe Genauigkeit der Koopman-Operator-Modelle für die Steuerungsaufgaben genutzt werden, während die Markov-Ketten-basierte Steuerung für die Implementierung aufgrund ihrer Recheneffizienz bevorzugt wird. Durch die Kombination dieser Ansätze können sowohl die Genauigkeit als auch die Effizienz der Steuerung verbessert werden, wodurch ein ausgewogener hybrider Ansatz entsteht, der die Stärken beider Methoden nutzt.