Exakte und robuste Abfrage der Punktenthaltenheit in Sammlungen von rationalen parametrischen Kurven mithilfe verallgemeinerter Windungszahlen

Core Concepts

Die Berechnung der verallgemeinerten Windungszahl ermöglicht eine robuste Bestimmung der Punktenthaltenheit in Sammlungen von rationalen parametrischen Kurven, auch wenn diese nicht wasserdicht sind.

Abstract

Der Artikel beschreibt ein Verfahren zur Berechnung der verallgemeinerten Windungszahl für Sammlungen von rationalen parametrischen Kurven. Dies ermöglicht eine robuste Bestimmung der Punktenthaltenheit, auch wenn die zugrunde liegende Geometrie Lücken oder Überlappungen aufweist.

Das Verfahren besteht aus folgenden Schritten:

1. Berechnung der Windungszahl für jede einzelne Kurve unabhängig voneinander. Dafür wird die Kurve schrittweise in einfachere Teilkurven zerlegt, bis diese näherungsweise linear sind.

2. Berechnung der Windungszahl der geschlossenen Kurve durch Summation der Einzelbeiträge. Dabei wird der Beitrag der linearen Schließkurve subtrahiert.

3. Behandlung von Punkten, die auf der Kurve liegen, durch Verwendung einer speziellen Konvention für die Windungszahl an diesen Stellen.

Durch dieses Vorgehen kann die verallgemeinerte Windungszahl exakt und effizient berechnet werden, ohne dass Ungenauigkeiten durch numerische Integration auftreten. Die Methode ist robust gegenüber Geometriefehlern wie Lücken oder Überlappungen und liefert intuitive Ergebnisse für die Punktenthaltenheit.

Stats

Die Berechnung der Windungszahl erfolgt ohne Verwendung trigonometrischer Funktionen, sondern ausschließlich durch geometrische Überlegungen.

Quotes

"Durch die Glättung des Feldes der verallgemeinerten Windungszahlen um geometrische Fehler herum sind diese gut geeignet für robuste Punktenthaltenheitsabfragen."
"Unser Algorithmus berechnet die exakte verallgemeinerte Windungszahl für eine beliebige Sammlung gekrümmter Objekte und stellt einen neuartigen Algorithmus zur effizienten Berechnung der Punktenthaltenheit in gekrümmten Polygonen bereit."

Key Insights Distilled From

Robust Containment Queries over Collections of Rational Parametric Curves via Generalized Winding Numbers

by Jacob Spainh... at arxiv.org 03-27-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.17371.pdf

Deeper Inquiries

Wie könnte das Verfahren erweitert werden, um auch dreidimensionale gekrümmte Geometrien zu unterstützen

Um das Verfahren auf dreidimensionale gekrümmte Geometrien zu erweitern, könnte man eine ähnliche Methode wie bei zweidimensionalen Kurven anwenden, jedoch mit entsprechenden Anpassungen für den dreidimensionalen Raum. Statt von einer Linie umschlossene Regionen zu betrachten, müsste man von Oberflächen umschlossene Volumina betrachten. Dies würde die Berechnung von verallgemeinerten Windungszahlen für dreidimensionale gekrümmte Objekte ermöglichen. Man könnte beispielsweise die Oberfläche eines Objekts in kleine Flächenabschnitte unterteilen und für jeden Abschnitt die entsprechende verallgemeinerte Windungszahl berechnen, um dann die Gesamtwindungszahl für das gesamte Objekt zu erhalten.

Welche zusätzlichen Anwendungen der verallgemeinerten Windungszahlen jenseits der Punktenthaltenheitsabfrage sind denkbar

Abgesehen von der Punktenthaltenheitsabfrage könnten verallgemeinerte Windungszahlen in verschiedenen Anwendungen nützlich sein. Zum Beispiel könnten sie in der Computergrafik für die Erzeugung von Meshes aus unstrukturierten geometrischen Daten verwendet werden. Darüber hinaus könnten sie in der Bildverarbeitung für die Segmentierung von Bildern oder die Erkennung von Objekten eingesetzt werden. In der Robotik könnten verallgemeinerte Windungszahlen zur Pfadplanung oder Hindernisvermeidung verwendet werden. Auch in der medizinischen Bildgebung könnten sie bei der Analyse von anatomischen Strukturen oder Tumoren hilfreich sein.

Inwiefern lässt sich das Verfahren auf andere Darstellungsformen gekrümmter Geometrien wie NURBS-Flächen übertragen

Das Verfahren zur Berechnung verallgemeinerter Windungszahlen kann auch auf andere Darstellungsformen gekrümmter Geometrien wie NURBS-Flächen angewendet werden. NURBS-Flächen sind eine häufig verwendete Methode zur Darstellung von gekrümmten Oberflächen in der Computergrafik und im CAD-Bereich. Indem man die NURBS-Fläche in kleinere Flächenabschnitte unterteilt und für jeden Abschnitt die entsprechende verallgemeinerte Windungszahl berechnet, kann man die Gesamtwindungszahl für die gesamte Fläche bestimmen. Dies ermöglicht eine robuste und genaue Punktenthaltenheitsabfrage für komplexe gekrümmte Oberflächen.