Flip-width: Cops and Robber on Dense Graphs

Core Concepts

New graph parameters, flip-width, generalize key graph theory concepts for dense graphs.

Abstract

The paper introduces flip-width parameters for dense graphs, unifying Sparsity Theory and Twin-width Theory. It characterizes degeneracy, treewidth, and generalized coloring numbers. The study shows that classes with bounded flip-width include classes of bounded twin-width. The paper also discusses closure properties under transductions and provides an algorithm for approximating flip-width. Additionally, it introduces almost bounded flip-width as a dense counterpart to nowhere dense classes.

Stats

"A class has bounded expansion if each generalized coloring number is bounded by a constant."
"Every class of bounded twin-width has bounded flip-width."

Quotes

"The recent and already very successful Twin-width theory...provides a robust tameness condition for graph classes."
"We propose a new family of graph parameters, called flip-width...offering a compelling dense counterpart of classes of bounded expansion."

Key Insights Distilled From

Flip-width

by Szym... at arxiv.org 03-26-2024

https://arxiv.org/pdf/2302.00352.pdf

Deeper Inquiries

How do the introduced flip-width parameters impact the study of structural and algorithmic graph theory

導入されたflip-widthパラメータは、構造的およびアルゴリズム的なグラフ理論の研究にどのような影響を与えるでしょうか？この新しいパラメータは、従来のtreewidthやclique-widthなどと比較して、より一般的で包括的な枠組みを提供します。これにより、稀疎グラフから密度の高いグラフまで幅広く適用可能な理論が構築されます。具体的には、flip-widthパラメータはdegeneracyやgeneralized coloring numbersといった基本的なグラフ特性を包括し、さらにbounded expansionやnowhere dense classesといった重要なクラスも含めて統一した視点を提供します。この新しい枠組みは、多くの重要なコンビネーショナル特性やアルゴリズムへの応用が期待されます。

What are potential limitations or criticisms of the unified framework proposed in the paper

論文で提案された統合された枠組みの潜在的制限事項や批判点は何でしょうか？例えば、「almost bounded flip-width」という新概念が他の既存理論とどれだけ整合性があるか、またその定義自体が明確かつ十分かどうか等に関する議論が考えられます。また、「bounded twin-width」や「structurally nowhere dense classes」といった既存理論との関係性や相互作用も注目すべきポイントです。

How might the concept of almost bounded flip-width influence future research in graph theory

「almost bounded flip-width」という概念が将来のグラフ理論研究にどんな影響を与える可能性がありますか？この新しい概念はmonadically dependent classes（モナディック依存クラス）と同等であることから推測する限りでは、固定パターントレーステープ問題（model-checking problem）へ向けて大きな進展をもたらす可能性があります。さらに、「almost bounded flip-width」クラス内部でも異質化したサブクラス（edge-stable class, weakly sparse class, ordered graphs class ）間でも有益な洞察や解析手法開発へ貢献することも期待されます。