Adaptive Proximal Algorithms for Convex Optimization with Local Lipschitz Gradient

Core Concepts

新しい推定値を使用して、適応的なステップサイズを選択するアルゴリズム。

Abstract

Introduction:

Backtracking linesearch is a common approach in smooth optimization.
The proposed adaptive proximal gradient method eliminates the need for backtracks or function value evaluations.
It adapts stepsize based on local geometry estimates.
Adaptive Proximal Gradient Method:

Algorithmic overview provided.
Preliminary lemmas establish estimates of Lipschitz modulus.
Convergence results show boundedness and convergence to a solution.
Adaptive Three-Term Primal-Dual Methods:

Extension to primal-dual setting for composite minimization problems.
Handles nonsmooth terms and provides convergence results.
Numerical Simulations:

Effectiveness of proposed algorithms demonstrated compared to state of the art.
Conclusions:

Contributions summarized, including nonmonotone adaptive stepsize rule and extension to primal-dual setting.

Stats

この作業は、次のものによって支援されました：Research Foundation Flanders（FWO）博士研究員奨学金12Y7622Nおよび研究プロジェクトG081222N、G033822N、およびG0A0920N；Research Council KU Leuven C1プロジェクト番号C14/18/068；欧州連合ホライズン2020研究・イノベーションプログラムマリー・スクウォドフスカ・キュリー奨学金協定番号953348；日本学術振興会（JSPS）KAKENHI助成金JP21K17710。

Quotes

"Eliminates the need for backtracks or function value evaluations."
"Proposed algorithm does not require any parameter tuning."

Key Insights Distilled From

Adaptive proximal algorithms for convex optimization under local Lipschitz continuity of the gradient

by Puya Latafat... at arxiv.org 03-14-2024

https://arxiv.org/pdf/2301.04431.pdf

Deeper Inquiries

どのようにして提案されたアルゴリズムは従来の手法と比較して優れていますか

提案されたアルゴリズムは従来の手法と比較していくつかの点で優れています。まず、提案されたアルゴリズムはバックトラッキングラインサーチを必要とせず、関数値の評価も不要です。これにより、計算コストが低減されます。さらに、初期ステップサイズが小さい場合でも適切なステップサイズに収束する能力を持ちます。また、従来の手法よりも保守的でない更新規則を採用しており、効率的な最適化が可能です。

提案された手法が非滑らかな問題に対処できることを示す他の証拠はありますか

非滑らかな問題に対処できることを示す他の証拠として、提案されたアルゴリズムが局所Lipschitz連続性条件を満たす勾配項だけでなく非滑らか項も扱える点が挙げられます。この柔軟性により、さまざまな種類の最適化問題に適用可能です。さらに、収束結果から明確にわかるように、非滑らかな問題でも十分効果的であることが示されています。

このアルゴリズムが他の最適化問題にどのように適用できるか考えられますか

このアルゴリズムは他の最適化問題でも応用可能です。例えば制約付き最適化や正則化問題など幅広いクラスの問題に利用することが考えられます。また、局所Lipschitz連続性条件や凸性条件下では安定した収束結果を得ることができるため、様々な実世界の課題や産業上の最適化問題への応用も期待されます。