Unbedingte quantenmäßige Überlegenheit beim Sampling mit flachen Schaltkreisen

Core Concepts

Es gibt eine Familie von Quantenschaltkreisen konstanter Tiefe, die Verteilungen erzeugen können, die von klassischen Schaltkreisen konstanter Tiefe nicht reproduziert werden können, selbst wenn diese zusätzliche zufällige Eingaben erhalten.

Abstract

Die Studie untersucht die Fähigkeit von Quantenschaltkreisen konstanter Tiefe, Verteilungen zu erzeugen, die von klassischen Schaltkreisen konstanter Tiefe nicht reproduziert werden können.

Zunächst wird eine Quantenschaltkreisfamilie {Cn} konstruiert, die eine Verteilung Dn über {0, 1}n näherungsweise sampelt. Es wird dann bewiesen, dass jeder klassische Schaltkreis konstanter Tiefe mit beschränkter Fanin, der kn + nδ unabhängige Bernoulli-Zufallsvariablen mit Entropie 1/k als Eingabe verwendet, um eine Verteilung zu erzeugen, die der Verteilung Dn nahekommt, eine Tiefe von Ω(log log n) haben muss.

Darüber hinaus wird ein ähnlicher Trennungsnachweis zwischen Quantenschaltkreisen konstanter Tiefe mit Ratschlag und klassischen Schaltkreisen konstanter Tiefe mit beschränktem Fanin und Fanout, aber Zugriff auf eine unbegrenzte Anzahl unabhängiger Zufallseingaben, erbracht.

Die Konstruktion der Verteilung Dn und der klassischen Schaltkreis-Untergrenze sind inspiriert von Arbeiten von Viola, in denen er eine andere (aber verwandte) Verteilung zeigt, die nicht näherungsweise von klassischen Schaltkreisen konstanter Tiefe mit beschränktem Fanin gesampelt werden kann.

Stats

Für jeden δ < 1 gibt es eine Konstante c ∈ (0, 1), so dass jeder klassische Schaltkreis mit Fanin 2, der kn + nδ Zufallsbits als Eingabe nimmt und eine Verteilungsdistanz von höchstens 1/2 - ω(1/log n) zu Dn hat, eine Tiefe von Ω(log log n) hat.

Quotes

"Es gibt eine Familie von Quantenschaltkreisen konstanter Tiefe, die Verteilungen erzeugen können, die von klassischen Schaltkreisen konstanter Tiefe nicht reproduziert werden können, selbst wenn diese zusätzliche zufällige Eingaben erhalten."
"Für jeden δ < 1 gibt es eine Konstante c ∈ (0, 1), so dass jeder klassische Schaltkreis mit Fanin 2, der kn + nδ Zufallsbits als Eingabe nimmt und eine Verteilungsdistanz von höchstens 1/2 - ω(1/log n) zu Dn hat, eine Tiefe von Ω(log log n) hat."

Key Insights Distilled From

Unconditional Quantum Advantage for Sampling with Shallow Circuits

by Adam Bene Wa... at arxiv.org 03-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2301.00995.pdf

Deeper Inquiries

Wie viele Samples werden benötigt, um in einem Experiment den quantenmäßigen Vorteil zu verifizieren

Um den quantenmäßigen Vorteil zu verifizieren, sind nur wenige Samples erforderlich. Dies liegt daran, dass die Konstante der Gesamtabweichung im Korollar 4 bedeutet, dass nur wenige Samples benötigt werden, um zu überprüfen, ob die Verteilung, die vom beschriebenen Quantenschaltkreis erzeugt wird, nicht von einem festen NC0-Schaltkreis erzeugt wird. Es ist jedoch eine schwierigere Aufgabe, alle Verteilungen auszuschließen, die von NC0-Schaltkreisen erzeugt werden können.

Wie kann man die Quantenschaltkreise so optimieren, dass sie für einen experimentellen Aufbau geeignet sind

Eine Möglichkeit, die Quantenschaltkreise für einen experimentellen Aufbau geeignet zu machen, besteht darin, eine effizientere Methode zur Konstruktion der Um,θ unitären Schaltungen zu finden. Eine solche Kompilierung würde wahrscheinlich die experimentelle Implementierung der in diesem Papier beschriebenen Schaltkreise erheblich erleichtern.

Gibt es eine Möglichkeit, die klassische Untergrenze auch für den Fall zu zeigen, in dem die klassischen Schaltkreise eine unbegrenzte Anzahl von Eingaben haben

In Anhang B wird gezeigt, dass eine klassische Schaltkreisuntergrenze gegen (X, majmodp(X)) auch dann besteht, wenn die Schaltkreise eine unbegrenzte Anzahl von Eingaben haben, aber eine begrenzte Fan-In- und Fan-Out-Struktur aufweisen. Dies zeigt, dass es möglich ist, die klassische Untergrenze auch für den Fall zu zeigen, in dem die klassischen Schaltkreise eine unbegrenzte Anzahl von Eingaben haben.