非對稱旅行商問題參數化公式研究

Concetti Chiave

本文探討了非對稱旅行商問題 (ATSP) 的參數化整數規劃公式，特別是對 Miller-Tucker-Zemlin (MTZ)、Desrochers-Laporte (DL) 和單一商品流 (SCF) 三種經典公式進行參數化推廣，並分析其特性，包括對 x 變數空間的投影、不同參數下公式的比較以及各個參數化公式族的閉包特性。

Sintesi

非對稱旅行商問題參數化公式研究

本文深入探討了非對稱旅行商問題 (ATSP) 的參數化整數規劃公式。作者首先介紹了 ATSP 的背景，並回顧了幾種經典的整數規劃公式，包括 Dantzig-Fulkerson-Johnson (DFJ)、Miller-Tucker-Zemlin (MTZ)、Desrochers-Laporte (DL) 和單一商品流 (SCF) 公式。

接著，作者針對 MTZ、DL 和 SCF 三種經典公式進行參數化推廣，分別提出了 d-MTZ、d-DL 和 b-SCF 公式。這些參數化公式通過引入參數 d 和 b，將原公式中的一些常數替換為變數，從而形成一個公式族。

作者深入分析了這些參數化公式族的特性，主要包括以下幾個方面：

1. 對 x 變數空間的投影: 作者研究了將擴展公式 QMTZ(d)、QDL(d) 和 QSCF(b) 投影到 x 變數空間後得到的公式 PMTZ(d)、PDL(d) 和 PSCF(b)。作者給出了這些公式的完整多面體描述，並刻畫了其 facets。

2. 不同參數下公式的比較: 作者探討了不同參數下參數化公式的優劣比較。結果顯示，對於 d-MTZ 公式，一般情況下 PMTZ(d) 和 PMTZ(d') 並不具備可比性；而對於 d-DL 公式，在滿足特定條件下，PDL(d) 和 PDL(d') 也不具備可比性。此外，對於 b-SCF 公式，PSCF(d) 和 PSCF(d') 始終不具備可比性。

3. 閉包特性的刻畫: 作者定義了參數化公式族的閉包，即同時考慮所有參數值下的公式所得到的集合。作者完整地刻畫了 d-MTZ、d-DL 和 b-SCF 公式族的閉包，並研究了它們的一些特性。

總體而言，本文對 ATSP 的參數化整數規劃公式進行了深入的研究，揭示了不同參數化公式之間的關係以及其閉包的特性，為進一步研究 ATSP 的求解算法提供了理論基礎。

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Approfondimenti chiave tratti da

On parametric formulations for the Asymmetric Traveling Salesman Problem

by Gustavo Angu... alle arxiv.org 11-22-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.13758.pdf

Domande più approfondite

本文主要探討了參數化公式的理論特性，那麼這些特性如何應用於開發更高效的 ATSP 求解算法？

本文探討了 d-MTZ、d-DL 和 b-SCF 三種參數化公式的特性，並分析了不同參數選擇對公式強度和閉包的影響。這些理論分析可以應用於開發更高效的 ATSP 求解算法，以下列舉幾種可能性：

參數調整： 通過分析不同參數對公式強度的影響，可以設計啟發式算法或學習算法來尋找更強的參數設定，從而提高求解效率。例如，可以根據問題實例的特點，設計參數選擇策略，使得生成的線性規劃鬆弛解更接近整數解。
割平面算法： 本文證明了某些參數化公式的閉包對應多面體的刻畫。基於此，可以設計針對特定參數化公式的割平面算法，通過添加有效的不等式來縮小解空間，加速分支定界算法的求解過程。
分解算法： 可以根據參數化公式的結構特點，設計分解算法將原問題分解為若干個子問題，分别求解后再合并得到原问题的解。例如，可以利用 d-MTZ 公式中參數 d 的設定，將節點集劃分為若干個子集，并在子集中尋找最优的旅行路线。

需要注意的是，将理论分析应用于算法设计需要克服许多挑战，例如如何有效地寻找好的参数、如何设计高效的割平面生成算法、如何处理分解算法中的子问题交互等。

本文假設圖 G 是一個完全有向圖，那麼對於非完全圖的情況，這些參數化公式是否仍然適用？

對於非完全有向圖的情況，需要對這些參數化公式進行適當的調整才能適用。

d-MTZ 和 d-DL 公式： 這兩種公式基於節點在旅行路線中的相對位置關係。對於非完全圖，如果兩個節點之間不存在邊，則不需要對應的變量和約束。

具体来说，可以将参数 $d_{ij}$ 的定义域限制在图 G 中存在的边上，并修改 D 的定义，使其只包含图 G 中的环。

b-SCF 公式： 该公式基于网络流模型。对于非完全圖，可以将不存在的边视为容量为 0 的边，其他部分保持不变。
需要注意的是，对于非完全圖，这些參數化公式的强度可能会减弱，因为可行解空间更大。此外，闭包的刻画也可能更加复杂。

本文的研究成果是否可以推廣到其他組合優化問題，例如車輛路徑問題 (VRP) 或作業車間排程問題 (JSP)？

本文的研究成果對於其他組合優化問題具有一定的參考價值，特别是那些可以使用类似的建模技巧（例如子环消除约束、网络流模型）的问题。

車輛路徑問題 (VRP)： VRP 可以看作是 ATSP 的推广，其目标是在满足各种约束条件（例如车辆容量、时间窗）的情况下，找到一组最优的车辆路线，以服务所有客户。

d-MTZ 和 d-DL 公式可以用于 VRP 中的子环消除约束，但需要根据 VRP 的具体约束进行调整。
b-SCF 公式可以用于 VRP 中的车辆容量约束，将车辆视为具有容量限制的流动单元。

作業車間排程問題 (JSP)： JSP 的目标是在满足机器和工序约束的情况下，找到一组最优的工件加工顺序，以最小化总加工时间或其他目标函数。

d-MTZ 和 d-DL 公式可以用于 JSP 中的工序排序约束，将节点视为工序，并根据工序间的先后顺序关系定义参数 d。
b-SCF 公式较难直接应用于 JSP，因为 JSP 中的约束通常更加复杂，难以用网络流模型来描述。
总而言之，将本文的研究成果推广到其他组合优化问题需要根据具体问题的特点进行调整和扩展。