在資源可分割性主觀差異下的公平分配問題

Concetti Chiave

本文針對傳統公平分配問題中資源可分割性預先設定的限制，提出了一種新的模型，允許參與者對資源的可分割性持有主觀意見，並探討了在此模型下可實現的公平性指標，特別是最大最小份額保證和無羨慕分配的變體。

Sintesi

資源可分割性主觀差異下的公平分配問題研究

傳統的公平分配問題假設待分配的資源是可分割的或不可分割的，或者兩者兼而有之，但參與者對於資源的（不可）可分割性始終有一個預先確定的、無爭議的共識。在本文中，我們提出並研究了一種新的公平分配模型，在該模型中，參與者對待分配的資源具有主觀的可分割性。也就是說，一些參與者可能認為某一資源是不可分割的，只有當他們獲得整個資源時才能獲得效用，而另一些參與者可能認為同一資源是可分割的，因此可以根據他們獲得的資源比例來提取效用。我們研究了當參與者具有主觀可分割性時可以實現的公平性。首先，我們考慮了最大最小份額 (MMS) 保證，並表明對於 n ≥ 2 個參與者，最壞情況下的 MMS 近似保證最多為 2/3，並且該比率在兩個和三個參與者的情況下是緊的。這與涉及兩個或三個參與者的經典公平分配設置形成對比。我們還給出了一種算法，該算法為任意數量的參與者生成 1/2-MMS 分配。其次，我們研究了無羨慕放鬆的層次結構，包括 EF1M、EFM 和 EFXM，按強度遞增排序。雖然 EF1M 與無浪費（一種經濟效率概念）兼容，但 EFM 並非如此，即使是兩個參與者也是如此。然而，如果最多丟棄一件物品，則對於兩個參與者來說，始終存在 EFXM 和無浪費的分配。

公平分配研究如何在具有潛在不同偏好的感興趣的參與者之間分配稀缺資源，以使每個參與者都感到自己獲得了公平的份額。公平分配問題可以追溯到 1940 年代，Steinhaus [1949] 提出並研究了如何公平地分配蛋糕——這個問題通常被稱為蛋糕切割，蛋糕是異質可分割商品（如土地或時間）的隱喻。該領域中最突出的兩個公平概念是比例性 [Steinhaus, 1949] 和無羨慕性 [Foley, 1967]。如果每個參與者獲得的價值至少是她對整套商品總價值的 1/n（這裡，n 表示參與者數量），則稱分配是成比例的，如果每個參與者都弱於偏好自己的捆綁包而不是分配中的任何其他參與者的捆綁包，則稱分配是無羨慕的 (EF)。
除了蛋糕切割之外，最近人們對異質不可分割商品（如珠寶、電子產品、藝術品和許多其他常見商品）的分配給予了相當大的關注 [Amanatidis et al., 2023; Suksompong, 2021, 2025]。雖然比例性和無羨慕性始終可以在蛋糕切割中得到滿足，但在分割不可分割商品時，兩者都不能始終得到滿足。為了規避這個問題，已經研究了這些概念的放鬆。比例性的一個自然替代方案是最大最小份額 (MMS) 保證 [Budish, 2011]，它要求每個參與者獲得的價值至少等於他們自己的最大最小份額，即如果允許參與者將商品劃分為 n 個部分並始終獲得最差的部分，則該參與者可以為自己保證的最大價值。MMS 分配可能不存在，但始終可以滿足 MMS 的恆定乘法近似 [Akrami and Garg, 2024; Kurokawa et al., 2018]。另一方面，無羨慕性通常放鬆到最多一件商品的無羨慕性 (EF1) [Budish, 2011]，這要求通過從後一個參與者的捆綁包中移除一些商品，就可以消除一個參與者對另一個參與者的任何羨慕。EF1 分配始終存在 [Caragiannis et al., 2019; Lipton et al., 2004]。
最近，Bei 等人 [2021a] 概括了上述兩個經典設置，並研究了混合可分割和不可分割商品（以下簡稱混合商品）的公平分配。他們引入了一個稱為混合商品無羨慕性 (EFM) 的概念，它自然地概括了 EF 和 EF1，並證明了 EFM 分配的保證存在性。還針對混合商品分配研究了無羨慕放鬆的較弱和較強變體（例如，EF1M 和 EFXM）[Caragiannis et al., 2019; Nishimura and Sumita, 2023]。此外，Bei 等人 [2021b] 研究了混合商品模型中 MMS 分配的存在性、近似性和計算。
在所有上述三種模型中——蛋糕切割、不可分割商品分配或混合商品模型——商品的（不可）可分割性是客觀的和預先確定的。換句話說，所有參與者都同意一件商品是否可分割。然而，在許多現實場景中，參與者可能對商品具有主觀的可分割性：

作為我們的第一個例子，考慮分配大學場地使用預定時間段。對於某些用戶來說，特定的時間段可能被認為是不可分割的——例如，教授通常需要完整的時間段來進行講座或課程的期末考試。同時，學生活動小組可能會將同一個時間段視為可分割的，因為他們對場地的使用是靈活的，並且他們的效用可能與預訂的時間成正比。
另一個例子是計算資源的分配。給定一個計算資源，例如 CPU 或 1GB RAM，某些計算任務可能會發現它不可分割，因為它們需要整個資源才能執行，而其他任務可能更靈活，並且可以根據分配給他們的相同資源的比例具有不同的性能水平。
我們的最後一個例子涉及在各種情況下（例如離婚協議和遺產分割）分割資產，例如土地、房地產和企業所有權。以一塊土地為例。對於具有普遍目標的參與者來說，這是一種典型的可分割商品；但如果其他人只想在整塊土地上建造房屋，則他們可能會將其視為不可分割的。同樣，在處理住宅房地產時，一些參與者可能會將房產視為不可分割的，因為他們計劃居住在其中。相反，那些已經擁有房屋的人可能會將同一房產視為潛在的租金收入來源，因此樂於只擁有一部分。
參與者對資源的這種主觀可分割性給經典的公平分配問題帶來了有趣且具有挑戰性的特徵。例如，對於只有兩個參與者的情況，簡單的切割選擇協議（第一個參與者將商品分成兩部分，從她的角度來看盡可能相等，並讓第二個參與者先選擇）是已知的在不同環境下提供強大的公平保證。然而，當兩個參與者可能在商品的可分割性上意見不一致時，情況就不再是這樣了。考慮一個簡單的例子，其中參與者具有以下主觀可分割性和效用：

商品
參與者 1
參與者 2

商品 1
可分割, 1
不可分割, 1

商品 2
可分割, 1
不可分割, 1

如果參與者 1 將商品分成兩部分，使得每一部分都包含每一件商品的一半，則參與者 2 對任何一部分的估值都為零。無論參與者 2 的選擇如何，最終的分配都是不公平的——一個簡單的切割選擇協議無法對 MMS 做出任何正的近似！同時，顯然有一個更好的分配：每個參與者都得到一件完整的商品。本文的核心問題是

如何設計能夠應對資源主觀可分割性的公平分配算法；以及
主觀可分割性如何影響眾所周知的公平性，例如 MMS 保證和（放鬆的）無羨慕性。

Approfondimenti chiave tratti da

Fair Division with Subjective Divisibility

by Xiaohui Bei,... alle arxiv.org 11-15-2024

https://arxiv.org/pdf/2310.00976.pdf

Domande più approfondite

在資源可分割性存在主觀差異的情況下，如何設計更加有效率的公平分配機制？

在資源可分割性存在主觀差異的情況下，設計更加有效率的公平分配機制需要考慮以下幾個方面：

信息 elicitation 機制: 由於主觀可分割性帶來了額外的信息不對稱，設計有效的機制來引導參與者誠實地揭示他們的效用函數和對資源可分割性的看法至關重要。可以考慮以下幾種方法：

組合拍賣機制: 設計組合拍賣機制，允許參與者對資源的不同組合（包括部分資源）進行報價，從而揭示他們對可分割性的偏好。
基於排名的機制: 參與者可以根據他們的偏好對資源或資源組合進行排名，並設計相應的分配規則，例如，可以根據排名分配優先選擇權。
迭代式機制: 通過多輪信息交互，逐步 уточнить 參與者對資源的估值和可分割性偏好，例如，可以參考需求響應或交替報價等方式。

公平性指標的選擇: 除了最大最小份額（MMS）和無羨慕性（EF）及其變種之外，還可以考慮其他更能體現主觀可分割性的公平性指標，例如：

基於 Nash 福利的指標: 最大化所有參與者的效用乘積，可以更好地平衡效率和公平性，尤其是在參與者對資源估值差異較大的情況下。
考慮 ordinal 偏好的指標: 一些指標可以僅依賴於參與者對資源的排序信息，而不需要精確的效用函數，從而降低信息 elicitation 的難度。
可定制的公平性指標: 允許參與者根據自身需求定義和選擇公平性指標，例如，可以設定不同的權重來平衡效率和公平性。

算法設計: 基於上述信息 elicitation 機制和公平性指標，設計相應的算法來計算滿足公平性和效率要求的資源分配方案。可以考慮以下幾種算法設計思路：

基於優化的算法: 將公平分配問題建模為一個優化問題，並使用相應的算法（例如，線性規劃、整數規劃等）求解。
啟發式算法: 針對特定問題設計高效的啟發式算法，例如，貪婪算法、模擬退火算法、遺傳算法等。
機器學習算法: 利用機器學習算法從歷史數據中學習參與者的偏好和行為模式，並預測最優的資源分配方案。

實踐中的考量: 在實際應用中，還需要考慮以下幾個方面：

計算複雜度: 設計的算法應具有較低的計算複雜度，以便在合理的時間內找到可行的分配方案。
策略行為: 參與者可能會採取策略行為來最大化自身利益，需要設計相應的機制來防止或減少策略行為的影響。
動態環境: 實際環境往往是動態變化的，需要設計能夠適應環境變化的公平分配機制。

是否存在其他公平性指標可以更好地評估資源可分割性主觀差異下的分配方案？

是的，除了文中提到的 MMS 和 EF 及其變種，還有一些其他的公平性指標可以更好地評估資源可分割性主觀差異下的分配方案：

Proportionality up to one indivisible good (PROP1): 這是比例性在不可分割物品上的放寬，它要求每個代理都收到至少其公平份額的價值，或者可以通过从其自身捆绑中删除一个不可分割的物品来实现。在主观可分割性下，可以根据代理对物品的主观可分割性来调整 PROP1 的定义，例如，允许代理从其捆绑中删除一个主观上不可分割的物品，或者将其主观上可分割的物品的一部分添加到其他代理的捆绑中。

Envy-freeness up to any good (EFX): 这是 EF1 的加强版，它要求对于任何两个代理 i 和 j，如果从 j 的捆绑中移除任何一个物品（无论可分割或不可分割），代理 i 都不会羡慕 j 的剩余捆绑。EFX 在主观可分割性下也需要进行相应的调整，例如，可以考虑从 j 的捆绑中移除一个主观上不可分割的物品，或者将其主观上可分割的物品的一部分添加到 i 的捆绑中。

Groupwise maximin share guarantee (GMMS): GMMS 衡量的是一个代理组在分配中所能保证的最差情况下的效用。在主观可分割性下，可以根据代理组对物品的主观可分割性来计算 GMMS，例如，允许代理组将其主观上可分割的物品在组内进行任意分割。

Nash social welfare (NSW): NSW 是所有代理的效用值的乘积，最大化 NSW 的分配方案通常被认为是兼顾效率和公平性的。在主观可分割性下，NSW 的计算需要考虑代理对物品的主观可分割性，例如，可以使用代理对物品的估值函数来计算其对不同分配方案的效用值。

选择合适的公平性指标需要根据具体的应用场景和需求来决定。例如，如果效率是首要目标，那么 NSW 可能是一个比较合适的指标；如果更注重个体公平性，那么 PROP1 或 EFX 可能更合适；如果需要考虑代理组的公平性，那么 GMMS 可能是一个更好的选择。

如何將資源可分割性主觀差異的公平分配模型應用於解決實際問題，例如雲計算資源分配、任務调度等？

资源可分割性主观差异的公平分配模型在许多实际问题中都有广泛的应用，以下以云计算资源分配和任务调度为例：
1. 云计算资源分配:

场景描述: 云计算平台需要将计算资源（如 CPU、内存、存储空间等）分配给不同的用户或应用程序。用户对资源的需求和可分割性偏好可能会有所不同，例如，一些用户可能需要独占某些资源，而另一些用户可以共享资源。
模型应用: 可以将云计算资源分配问题建模为主观可分割性下的公平分配问题。

资源: 云计算平台上的各种计算资源。
代理: 使用云计算资源的用户或应用程序。
主观可分割性: 用户对不同资源的可分割性偏好，例如，某些用户可能要求独占某些资源，而另一些用户可以接受共享资源。
效用函数: 用户对不同资源组合的效用函数，可以根据用户的性能需求、预算限制等因素来定义。

公平性指标: 可以根据用户的需求和平台的运营目标选择合适的公平性指标，例如：

最大化平台总收益: 可以使用基于拍卖的机制来分配资源，并根据用户的出价来最大化平台的总收益。
保证用户的公平性: 可以使用 MMS 或 EF 等公平性指标来保证用户的公平性，例如，可以确保每个用户都能获得与其需求成比例的资源。

算法: 可以设计基于优化的算法或启发式算法来求解资源分配方案，例如，可以使用线性规划、组合拍卖等方法。
2. 任务调度:

场景描述: 在分布式计算环境中，需要将任务调度到不同的计算节点上执行。不同的任务对计算资源的需求和可分割性偏好可能会有所不同，例如，一些任务可能需要独占某些资源，而另一些任务可以共享资源。
模型应用: 可以将任务调度问题建模为主观可分割性下的公平分配问题。

资源: 计算节点上的计算资源，例如 CPU、内存、网络带宽等。
代理: 需要调度的任务。
主观可分割性: 任务对不同资源的可分割性偏好，例如，某些任务可能要求独占某些资源，而另一些任务可以接受共享资源。
效用函数: 任务在不同计算节点上的执行时间或成本，可以根据任务的计算量、数据传输量等因素来定义。

公平性指标: 可以根据任务的重要程度、用户的服务质量要求等因素选择合适的公平性指标，例如：

最小化任务完成时间: 可以使用基于优先级的调度算法来最小化所有任务的平均完成时间或最大完成时间。
保证用户的公平性: 可以使用 MMS 或 EF 等公平性指标来保证用户的公平性，例如，可以确保每个用户的任务都能在合理的时间内完成。

算法: 可以设计基于队列的调度算法、基于列表的调度算法、基于拍卖的调度算法等来求解任务调度方案。
总而言之，资源可分割性主观差异的公平分配模型为解决云计算资源分配、任务调度等实际问题提供了一个理论框架。通过选择合适的公平性指标和算法，可以设计出满足不同需求的资源分配方案，从而提高资源利用率、用户满意度和系统整体性能。