무작위 진화 방정식의 근사화

Concetti Chiave

이 논문에서는 유한 차원 잡음에 의해 결정되는 무작위 형식군에 해당하는 무작위 진화 방정식의 근사화를 위한 추상적 프레임워크를 제시합니다. 공간, 시간 및 무작위성에 대한 완전한 이산화 오차를 고려하며, 다항식 혼돈 전개(PCE)를 사용하여 무작위성에 대한 반이산화를 수행합니다. 주요 결과는 계수의 매끄러움과 초기값의 Sobolev 정규성에 따라 무작위성에 대한 다항식 차수의 수렴이 얻어지는 무작위 형식에 대한 정규성 조건입니다.

Sintesi

이 논문은 무작위 진화 방정식의 근사화와 수렴에 대한 결과를 제시합니다.

1. 무작위 진화 방정식을 추상적 Cauchy 문제로 정의하고, 이를 공간, 시간 및 무작위성에 대해 이산화하는 방법을 설명합니다.

2. 공간 이산화를 위해 Galerkin 방법을 사용하며, 이에 대한 수렴 속도를 정량화합니다. 시간 이산화를 위해 안정적이고 일관된 시간 이산화 방법을 사용하며, 이에 대한 수렴 속도를 정량화합니다.

3. 무작위성 이산화를 위해 다항식 혼돈 전개(PCE)를 사용하며, 이에 대한 수렴 속도를 정량화합니다. 특히 표준 정규 분포, 감마 분포 및 베타 분포에 대한 결과를 제시합니다.

4. 이러한 세 가지 이산화 방법을 결합하여 전체 오차에 대한 수렴 속도를 제시합니다. 이를 위해 공간, 시간 및 무작위성 이산화 사이의 상호 관계를 활용합니다.

5. 대칭 형식의 경우와 그렇지 않은 경우에 대해 각각 다른 결과를 제시합니다.

Statistiche

무작위 진화 방정식의 공간 이산화 오차는 공간 정규성에 따라 O(m^(-p1-p2))의 속도로 수렴합니다.
무작위 진화 방정식의 시간 이산화 오차는 시간 정규성에 따라 O(τ^pt)의 속도로 수렴합니다.
무작위 진화 방정식의 무작위성 이산화 오차는 Sobolev 공간 H^(2ℓ)_ρ(R^N, P_Z)의 정규성에 따라 O(n^(-ℓ))의 속도로 수렴합니다.

Citazioni

"이 논문에서는 유한 차원 잡음에 의해 결정되는 무작위 형식군에 해당하는 무작위 진화 방정식의 근사화를 위한 추상적 프레임워크를 제시합니다."
"주요 결과는 계수의 매끄러움과 초기값의 Sobolev 정규성에 따라 무작위성에 대한 다항식 차수의 수렴이 얻어지는 무작위 형식에 대한 정규성 조건입니다."

Approfondimenti chiave tratti da

Approximation of Random Evolution Equations

by Katharina Kl... alle arxiv.org 04-12-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.07660.pdf

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