タイルの局所生成可能性

核心概念

本稿では、サブシフトのあらゆる配置を局所的な方法で生成できるかどうかを探求し、2つの局所生成の定義を提案し、それらの性質を探求し、サブシフトがこれらの定義を満たすかどうかを判断するための技術を開発し、いくつかの例を用いて結果を示しています。

要約

本稿は、Wangタイルセットや、より一般的なサブシフトが与えられた場合に、平面のすべてのタイリングを、セル間通信を最小限に抑えた局所的な方法で生成できるかどうかを探求しています。

導入

平面をタイル張りする問題は、Wangタイルセットを固定すると、一般的には困難です。HanfとMyersは、平面をタイル張りするが、どのアルゴリズムでもタイリングを生成できないタイルセットが存在することを示しました。その一方で、平面の任意のタイリングを生成できる単純な手順を許容するタイルセットも存在します。この手順では、各セルにおけるタイルの選択は、局所的な相互作用のみを必要とします。

本稿では、固定されたWangタイルセットまたはより一般的なサブシフトが与えられた場合に、平面のすべてのタイリングを局所的な方法、すなわちセル間通信を最小限に抑えた方法で生成する問題を調査します。もちろん、このような局所生成手順を許容するタイルセットはごくわずかであると予想されます。本稿の目標は、この局所生成の考え方を捉えた正確な定義を与え、次に、与えられた各タイルセットまたはサブシフトがこれらの定義を満たすかどうかを決定することです。ここで強調しておきたいのは、私たちの視点は計算可能性と計算量理論の視点とは直交しており、手順の局所性は計算上の単純さというよりもむしろ組み合わせ論的な単純さの一形態であるということです。

局所生成

まず、局所生成の概念を導入するために必要な最小限の定義を振り返ってみましょう。

準備

d ≥ 1の場合、(Zd, +, 0)はアーベル群です。集合E上のZd作用は、ZdからEからEへの全単射の群への準同型写像です。また、EをZd集合ともいいます。準同型写像の下でのp∈Zdの像をe∈Eに適用した結果は、p・e∈Eと記述されます。位相空間X上の連続Zd作用は、ZdからXからXへの同相写像の群への準同型写像です。また、XをZd空間ともいいます。Zd空間Yは、作用と可換な連続全射写像f: X→Yが存在する場合、Zd空間Xの因子となります。fは因子写像と呼ばれます。

Aが有限アルファベットでEが可算である場合、AEには、A上の離散位相の積であるカントール位相が与えられます。これにより、AEはコンパクト距離化可能空間となります。AZd上のシフト作用は、p∈Zdとx∈AZdに対して、y(q) = x(p + q)となるyとして定義される連続Zd作用です。Zdサブシフトは、シフト不変である、すなわちすべてのp∈Zdに対してσp(X) = Xを満たす、コンパクト集合X⊆AZdです。Zdフルシフトは、ある有限アルファベットAに対するAZdです。

クラスL0

まず、最も強い局所生成の概念から始めます。この定義は、以下の観察に基づいています。

• 特定のサブシフトには、直感的に局所的な生成手順が存在する。
• 2つのサブシフトXとYが局所的に生成できる場合、それらの積X×Yも局所的に生成できる（実際にはサブシフトである）。なぜなら、セルの内容は、各成分を局所的に生成できるペアに過ぎないからである。
• サブシフトXが局所的に生成できる場合、Xの任意の因子Yも局所的に生成できる。実際、f: X→Yが因子写像である場合、f(x)pの値は、pの周りの有限個のセルにおけるxの値によって決まり、これらの値は局所的に生成できます。

そこで、クラスL0を、最初の項目からの基本的なサブシフトを含み、有限積と因子に関して閉じている最小のサブシフトのクラスとして定義します。まず、出発点となる基本的なサブシフトを選択する必要があります。我々は、以下の3つのファミリを提案し、なぜそれらが局所的に生成されると考えられるのかを説明します。

• フルシフトAZd：セルの内容は互いに独立して選択できます。
• 周期的シフト：Zdの部分群Hが与えられたとき、XH⊆AZdを、すべてのH周期的配置を含むサブシフトとします。つまり、すべてのp∈Zdとh∈Hに対してx(p + h) = x(p)である場合、x∈XHとなります。まず、AZd/Hの要素は独立した選択によって生成でき、セルp∈Zdの内容は、Zd/Hにおけるその同値類に割り当てられた記号によって決まります。XHをAZd/Hと表記します。
• 可算サブシフト：可算サブシフトの配置はNでインデックス付けできるため、すべてのセルで共有される自然数nを最初に選択し、次にすべてのセルが並行して内容を決定することで、配置を生成できます。この手順の計算可能性や複雑さについては、ここでは扱いません（可算サブシフトは非常に計算不能になる可能性があることが[ST13]で示されています）。

定義2.1（クラスL0）：d ≥ 1とします。L0dを、Zdフルシフト、周期的Zdシフト、可算Zdシフトを含み、有限積と因子に関して閉じている最小のサブシフトのクラスとして定義します。L0 = ∪d≥1 L0dとします。

まず、L0のサブシフトは簡単な形で表現できます。

命題2.1（標準形）：X∈L0であることと、Xが基本サブシフトの有限積の因子であることは同値です。さらに、この有限積は、Kが可算、Aが有限、H1,...,HkがZdのランクが最大でd-1の非自明な部分群（k = 0の可能性もある）である、K×AZd×AZd/H1×...×AZd/Hkであると仮定できます。

証明：まず、Xの構成を記述する有限木に対する帰納法により、L0のすべてのXが基本サブシフトの有限積の因子であることを示します。Xが基本サブシフトである場合、何もする必要はありません。X = X0×X1で、X0, X1∈L0である場合、帰納法の仮定により、X0 = f0(P0)、X1 = f1(P1)となります。ここで、f0, f1は因子写像、P0, P1は基本サブシフトの有限積です。したがって、X = f(P0×P1)となります。ここで、f(x0, x1) = (f0(x0), f1(x1))であり、fは因子写像、P0×P1は基本サブシフトの有限積であることに注意してください。X = f(Y)で、Y∈L0、fが因子写像である場合、帰納法の仮定により、Y = g(P)となります。ここで、Pは基本サブシフトの有限積、gは因子写像です。したがって、x = f◦g(P)となり、f◦gは因子写像です。

最後に、可算サブシフトの有限積は可算サブシフトであり、フルシフトの有限積はフルシフトです。また、関係するすべてのアルファベットを最大のアルファベットに置き換えることができます。なぜなら、A⊆B、H⊆Zdである場合、AZd/HはBZd/Hの因子となるからです。Hが自明である場合、AZd/Hはフルシフトです。Hのランクがdである場合、AZd/Hは有限であるため可算となり、Kとマージできます。

標準形に周期的シフトAZd/Hが存在することは、直感的には、Hの要素だけ異なる出力セルが「通信」することを可能にします。つまり、それらは入力情報の一部を共有し、互いに連携して選択を行うことができます。

標準形をより簡潔な形で表現すると便利です。

命題2.2：X∈L0であることと、XがK×AEの因子であることは同値です。ここで、Kは可算サブシフト、Aは有限、Eは可算Zd集合です。

AEにはZd作用(u・a)p = au・p（a∈AE）が与えられ、K×AEには積Zd作用u・(k, a) = (u・k, u・a)が与えられると理解されています。

証明：X∈L0である場合、命題2.1より、XはK×AZd×AZd/H1×...×AZd/Hk = K×AEの因子となります。ここで、E = Zd∪Zd/H1∪...∪Zd/Hkであり、自然なZd作用が与えられています。

逆に、Xがある可算Zd集合Eに対してK×AEの因子である場合、軌道-安定化群定理（定理A.3）により、E = ∪i∈I Zd/Hiとなります。ここで、Iは可算、HiはZdの部分群です。K×AEのコンパクト性とfの連続性により、f(k, x)0がR上のxの値によって決まるような有限集合R⊆Eが存在します。fは因子写像であるため、任意のp∈Zdに対して、f(k, x)pはp・R = {p・e: e∈R}上のxの値によって決まります。したがって、f(k, x)はRの要素の軌道上のxの値によって決まります。Rは有限であるため、そのような軌道は有限個しかなく、XはK×AE'の因子となります。ここで、E'はZdの商の有限個の非交和であるため、AE'はAZd/Hiの有限積となります。

例2.1（セルオートマトン）：セルオートマトンは、シフト作用と可換な連続関数f: AZd→AZdです。したがって、そのイメージはフルシフトの因子であり、常にL0に属します。

クラスL1

次に、2番目の局所生成の定義を紹介します。これは、サブシフトの動的な側面を無視した、最初の定義の緩和です。まず、L1の定義を定式化するために、以下の概念が必要です。

E、Fを可算集合、A、Bを有限アルファベット、f: AE→BFを連続関数とします。

以下の概念は、各出力位置が入力fに対して狭い視野しか持たないという、fの連続性に対する制限です。

定義2.2（狭義関数）：R上で一致するすべての入力x、y∈AEに対して、f(x)とf(y)が位置qで一致する場合、q∈FはR⊆Eによって決定されると言います。

r∈Nとします。各q∈Fがサイズが最大でrの領域によって決定される場合、関数f: AE→BFはr-狭義です。あるrに対してfがr-狭義である場合、fは狭義であると言います。

関数は、定数である場合にのみ、0-狭義であることに注意してください。恒等関数f: AE→AEは1-狭義です。すべての因子写像は狭義です。2つの狭義関数の合成は狭義です。

例2.2（非一様セルオートマトン）：非一様セルオートマトン[DFP12]は、各q∈Zdがあるr∈Nに対してN(q, r) = {p∈Zd: d(p, q) ≤ r}によって決定されるような連続関数f: AZd→AZdです（距離dはd(p, q) = maxi |pi - qi|で定義されます。ここで、pi、qiはそれぞれp、qの座標です）。N(q, r)のサイズは一定であるため、fは狭義です。

2番目の局 local generation の概念を紹介します。Σ を有限、F を可算とします。

定義 2.3 (クラス L1): コンパクト集合 X⊆ΣF が L1 に属するのは、それが狭義関数の像の可算和である場合です。つまり、X = ∪n∈N Xn であり、ここで Xn = im(fn) であり、fn: ANn→X は rn-狭義です。

N は任意の可算集合に置き換えられることに注意してください。主に F = Zd および X が Zd-サブシフトである場合を考えますが、この定義はより一般的に意味を持ちます。

最後に、この local generation の概念は、実際には前の概念の緩和です。

命題 2.3: L0⊆L1 です。

証明: X∈L0 とし、f: K×AE→X を命題 2.2 で与えられる因子写像とします。

各 k∈K に対して、fk: AE→X を a を f(k, a) に送るものとします。f は狭義なので、各 fk は狭義であり、K は可算なので、X = ∪k∈K im(fk) は L1 に属します。

次の概念は、狭義関数を分析するのに役立ちます。

命題 2.4 (入力ウィンドウ): f: AE→BF を連続関数とします。各 q∈F に対して、q を決定する E の最小の部分集合があります。これは Wf(q) で表され、q の入力ウィンドウと呼ばれます。

証明: Wf(q) を、q を決定するすべての集合の共通部分とします。Wf(q) が q を決定することを示します。x, y∈AE が Wf(q) 上で一致するとします。f は連続なので、q を決定する有限集合 R が存在し、Wf(q)⊆R となります。R\Wf(q) = {r1,...,rn} とします。各 i≤n に対して、q を決定し、ri∉Ri となる Ri が存在します。帰納的に x0, x1,..., xn を次のように定義します。x0 = x とし、i < n に対して、xi+1 は ri を除くすべての場所で xi と一致し、ri では y と同じ値を取ります。

xi+1 と xi は、q を決定する Ri 上で一致するので、f(xi+1) と f(xi) は q で一致します。xn は、q を決定する R 上で y と一致するので、f(xn) と f(y) は q で一致します。その結果、f(x) と f(y) は q で一致するので、Wf(q) は実際に q を決定します。

各出力位置 q∈F は、入力ウィンドウ Wf(q) を通じて f の入力を見ていると考える必要があり、次に、見ているものに応じて内容を選択します。関数 f が r-狭義なのは、すべての q に対して |Wf(q)|≤r である場合です。

定義の妥当性

ここで、L1 のコンパクト集合が、ある意味で局所的な生成手順を常に許容するのはなぜかについて説明します。

X∈L1 とします。つまり、X = ∪n∈N Xn であり、ここで Xn は、ある rn-狭義関数 fn: ANn→ΣZd の像です。配置 x∈X を生成する手順は、次のとおりです。

• 数 n∈N と記号の任意の列 a∈ANn を選択します。
• 各セル p∈Zd に対して、最大 rn 個の位置にある a の値を読み取り、位置 p における fn(a) の値を決定し、その値で p を埋めます。

したがって、各セルには独自の手順があり、これは限られた量の入力情報を受け取り、その内容を出力します。また、すべてのセルは、明示的な通信なしに、並列して手順を実行します。セルは、数 n とセルのウィンドウ間の重複を介して、限られた入力情報を共有するため、ある程度の通信が暗黙的に可能になります。

繰り返しますが、各位置の有限入力ウィンドウを計算し、出力を決定する規則を適用することの計算可能性や複雑さについては、ここでは扱いません。また、我々の結果は、サブシフトの「組み合わせ論的」複雑さにのみ焦点を当てています。実際には、クラス L1 は、主に、特定のサブシフトがそのクラスに属していないことを証明するために使用されます。これは、必然的に、効率的に計算可能なウィンドウと規則の存在を妨げます。逆に、本稿で考慮されている L1 のすべての特定のサブシフト X に対して、ウィンドウと規則は明示的で、効率的に計算可能です。

統計

引用

抽出されたキーインサイト

Local generation of tilings

by Tom Favereau... 場所 arxiv.org 11-14-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.08697.pdf

深掘り質問

サブシフトの局所生成可能性は、計算複雑性とどのような関係があるのか？

サブシフトの局所生成可能性は、計算複雑性と密接に関係しています。 特に、L0 や L1 に属するサブシフトは、計算複雑性の観点から効率的に生成できる可能性が高いと言えます。

計算量の観点: L0 や L1 に属するサブシフトは、各セルの内容が有限の範囲の入力情報から決定されるため、各セルを並列に処理する効率的なアルゴリズムが存在する可能性があります。これは、画像圧縮やパターン認識など、大規模なデータセットを扱う分野において重要な要素となります。
計算可能性: 全てのサブシフトが計算可能であるわけではありません。しかし、L0 に属するサブシフトは、フルシフト、周期シフト、可算サブシフトの積と因子で構成されるため、少なくとも計算可能なサブシフトのクラスに属します。
決定問題: 与えられたサブシフトが L0 や L1 に属するかどうかを判定する問題は、一般的には決定不能である可能性があります。しかし、特定の条件を満たすサブシフトのクラスに対しては、効率的な判定アルゴリズムが存在する可能性があります。
ただし、論文中でも述べられているように、本稿では計算可能性や計算量の厳密な解析は行われていません。あくまで、組合せ論的な複雑さの観点から、サブシフトの局所生成可能性を議論しています。

局所生成不可能なサブシフトは、どのような特徴を持っているのか？

局所生成不可能なサブシフトは、長距離相関や複雑な大域的構造を持つ傾向があります。論文では、このようなサブシフトが L0 や L1 に属さないことを示すための具体的な手法として、分岐(ramification) と 遷移(transition) の概念が導入されています。

分岐: サブシフトが分岐構造を持つ場合、あるパターンから複数の異なるパターンへと拡張される可能性があり、その拡張パターンを決定するために無限の情報を必要とする可能性があります。このようなサブシフトは L0 に属しません。
遷移: サブシフトが複雑な遷移構造を持つ場合、あるパターンから別のパターンへと遷移するために、非常に大きな範囲の情報が必要となる可能性があります。このようなサブシフトは L1 に属しません。
これらの特徴は、局所的なルールだけではサブシフト全体を記述できないことを意味しており、計算複雑性の観点からも、効率的に生成することが難しいと考えられます。

サブシフトの局所生成可能性は、どのような応用が考えられるのか？

サブシフトの局所生成可能性は、計算機科学や物理学など、様々な分野において応用が期待されています。

計算機科学: 画像圧縮、パターン認識、乱数生成、セルオートマトン、計算機グラフィックスにおけるテクスチャ生成など。
物理学: 結晶構造のモデリング、統計力学における相転移の解析、複雑系のダイナミクスなど。
特に、効率的なアルゴリズムの設計や、複雑なシステムの解析において、サブシフトの局所生成可能性は重要な役割を果たすと考えられています。