核心概念
Wen-Lian Hsu氏が1995年に発表した循環アークグラフの認識とアイソモーフィズム問題に関する論文で使用されたアルゴリズムは、いくつかの重大な誤りを含んでおり、その結果、提案された分解木や認識アルゴリズムは正しく機能しない。
要約
論文概要: 循環アークグラフの認識とアイソモーフィズム問題に対するHsuのアルゴリズムの誤り
本稿は、Wen-Lian Hsu氏が1995年に発表した論文「循環アークグラフの認識とアイソモーフィズム問題に対する $\mathcal{O}(m\cdot n)$ アルゴリズム」[6] に対する誤りの指摘と修正案を提示するものである。Hsu氏の論文は、循環アークグラフの構造を表現する分解木の設計、$\mathcal{O}(nm)$ 時間での循環アークグラフの認識アルゴリズム、そして $\mathcal{O}(nm)$ 時間での循環アークグラフのアイソモーフィズムアルゴリズムという3つの主要な結果を主張している。
しかしながら、Curtis, Lin, McConnell, Nussbaum, Soulignac, Spinrad, and Szwarcfiter [2] は2013年に、Hsu氏のアイソモーフィズムアルゴリズムが正しくないことを示した。本稿では、残りの2つの結果、すなわち分解木と認識アルゴリズムもまた、欠陥があることを示す。
Hsu氏は、循環アークグラフの正規化された交差モデルの構造を記述するために、Gallaiのモジュラー分解に基づくアプローチを採用した。しかし、Hsu氏の論文には、以下に示すような、いくつかの重大な誤りが存在する。
正規化モデルの誤った記述
Hsu氏は、正規化された交差モデルが、グラフ内の頂点間の近傍関係を反映し、循環アークグラフの標準的な表現と見なせると主張している。しかし、Hsu氏が提示した正規化された交差モデルの記述は正確ではなく、すべての正規化モデルがその記述に従うわけではない。本稿では、Hsu氏の記述に従わない正規化モデルを持つ循環アークグラフの例を提示する(反例1.1)。
一意な共形モデルの存在に関する誤った証明
Hsu氏は、グラフGcが素数である場合、Gcは(反転を除いて)一意な共形モデルを持つと主張し、その証明を試みている(定理5.7)。しかし、この証明は、グラフGcとその結合(V0, V1, V2, V3)の特性に関する2つの主張に基づいており、本稿ではその両方が偽であることを示す。
一貫性のあるモジュールの問題点
Hsu氏は、Gcの一貫性のあるモジュールを決定するために、モジュラー分解木におけるGcの子ノードに注目している。彼は、Gcが順列グラフでない場合、それらがもはや一貫性を持たない可能性があることを正しく認識している。しかし、Gcの並列な子が一貫性を持たない可能性があるという事実は見落としている。本稿では、この点を指摘し、Hsu氏の「一貫性のあるモジュール」が、実際には一貫性を持たないことを示す。
Gcが並列モジュールの場合の不完全な記述
Gcが並列モジュールの場合、Hsu氏の記述は不完全である。彼は、Gcの各成分Cに対して、「一貫性のあるモジュールツリー」を構築しているが、Cが一貫性を持たない場合の「一貫性のあるモジュール」の定義が明確に示されていない。
本稿では、Hsu氏の論文[6]で提案された循環アークグラフの認識とアイソモーフィズム問題に対するアルゴリズムが、いくつかの重大な誤りを含んでおり、その結果、提案された分解木や認識アルゴリズムは正しく機能しないことを示した。