この論文は、体 F 上の有限次元ベクトル空間の対称モノイダル圏のセガール K 理論、あるいは同値であるが、S¹ から分類空間 BGL_d(F) の非交和への写像の E∞ 代数の群完備化について、F の有限体拡大の K 理論を用いて記述することを目的としています。
論文は、まずセガール K 理論と、自己同型写像を持つ対象の関手圏との関係について考察します。アーベル圏 C に対して、付随する加法 K 理論スペクトル K⊕(C) と、その結合スペクトル KS(C) を定義します。
論文の主結果は、体 F に対して、スペクトルの同値が存在することです。
B∞Map(S¹, ⨿{d⩾0} BGL_d(F)) ≃ ∏{(t)≠m⊂F[t] 極大イデアル} ∏_{i=1}^∞ K(F[t]/m).
ここで、F[t] は 1 変数多項式環、(t) は単項式 t によって生成されるイデアル、F[t]/m は m の剰余体です。また、K(F) は F の通常の代数的 K 理論スペクトルです。
この同値は、2 つの主要なステップで証明されます。
最初のステップでは、有限次元ベクトル空間のすべての自己同型写像が基本分解を持つという事実を利用して、次の結果を得ます。
定理 A. 体 F に対して、スペクトルの同値
K⊕(Mod_F^{aut}) ≃ ∏{(t)≠m⊂F[t] 極大イデアル} K⊕(Mod{F[t]/m}^{nil}).
が存在します。ここで、Mod_F^{nil} は、べき零自己準同型写像を持つ有限次元ベクトル空間のアーベル圏です。
2 番目のステップでは、Mod_F^{nil} の加法 K 理論を調べます。忘却関手 Mod_F^{nil} → Mod_F は Quillen K 理論上で同値を誘導しますが、加法 K 理論では同様のことは成り立ちません。その代わりに、次のことが示されます。
定理 B. 体 F に対して、スペクトルの同値
K⊕(Mod_F^{nil}) ≃ ∏_{i=1}^∞ K(F).
が存在します。大まかに言えば、添字集合は、べき零自己準同型写像が任意のサイズのジョルダンブロックに分解できるという事実に対応しています。
論文は、F = C, R の位相的な場合についても考察し、自己同型写像群の自然な位相を考慮に入れています。
他の言語に翻訳
原文コンテンツから
arxiv.org
深掘り質問