代数幾何符号の共形符号のハルの次元

核心概念

代数幾何符号の共形符号のハルの次元を決定する。特に、拡大が無分岐の場合と分岐の場合について、ハルの次元の下限や等式を示す。

要約

本論文では、代数幾何符号の共形符号のハルの次元について研究している。
まず、関数体F'がFの無分岐有限拡大の場合を考える。この時、共形符号C'のハルの次元hpC'qは、元の符号Cのハルの次元hpCqと以下の関係にある:

hpC'q ≥ m・hpCq
2g-2 < deg gcd(G,H) の場合、hpC'q = m・hpCq
ここで、mはF'からFへの拡大次数、GとHはそれぞれ符号CとCのデュアルを定義する divisorである。
次に、F'がFの有限可分拡大の場合を考える。この時、

hpC'q ≥ m/t・hpCq - 1/2 deg Diff(F'/F)
deg gcd(G,H) > 2g-2 + t/m deg Diff(F'/F) の場合、hpC'q = m/t・hpCq - 1/2 deg Diff(F'/F)
が成り立つ。ここでtはF'からFqへの拡大次数である。
さらに、特殊な関数体(楕円曲線、超楕円曲線、Hermite曲線)上の有理関数AG符号の共形符号について、ハルの次元を具体的に計算した例を示している。

統計

deg gcd(G,H) > 2g-2 + t/m deg Diff(F'/F)の時、hpC'q = m/t・hpCq - 1/2 deg Diff(F'/F)
deg gcd(G,H) ≤ 2g-2 + t/m deg Diff(F'/F)の時、hpC'q ≥ m/t・hpCq - 1/2 deg Diff(F'/F)

引用

なし

抽出されたキーインサイト

The Dimensions of the Hulls of Conorm Codes from Algebraic Geometry Codes

by Junmin An,Jo... 場所 arxiv.org 03-28-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.18231.pdf

深掘り質問

共形符号以外の符号の拡大に対するハルの次元の振る舞いはどうか。

共形符号以外の符号の拡大に対するハルの次元の振る舞いは、拡大が非分岐である場合と分岐する場合で異なります。非分岐の拡大の場合、ハルの次元は拡大前の符号のハルの次元に拡大度を乗じたものになります。一方、分岐する場合、分岐指数や相対次数などの要素が影響を与え、ハルの次元の振る舞いが変化します。拡大が分岐する場合、ハルの次元はより複雑になり、計算がより複雑になる可能性があります。

分岐指数が大きい場合のハルの次元の振る舞いはどうか。

分岐指数が大きい場合、ハルの次元の振る舞いは一般的により複雑になります。分岐指数が大きいと、符号の拡大におけるハルの次元が増加し、計算の複雑さが増す傾向があります。特に、分岐指数が大きい場合は、ハルの次元の計算においてさらなる注意が必要となります。分岐指数が大きい場合は、符号の性質や拡大の特性に応じて、ハルの次元の振る舞いが異なることがあります。

共形符号のハルの次元と量子誤り訂正符号の関係はどのように理解できるか。

共形符号のハルの次元と量子誤り訂正符号の関係は、符号理論と量子情報理論の間に重要な関連性があります。共形符号のハルの次元は、符号の性質や自己双対性などを特徴付ける重要な指標です。一方、量子誤り訂正符号は、量子情報処理において情報を保護するために使用される符号です。共形符号のハルの次元が小さい場合、量子誤り訂正符号の性能が向上する可能性があります。共形符号のハルの次元と量子誤り訂正符号の関係を理解することで、符号理論と量子情報理論の間の接点を探ることができます。