正則軌跡上の幾何学的サタケの彩色収差

核心概念

単純リー群の有限次元表現の圏とアフィン・グラスマンニアン上の同変層の圏を結びつける幾何学的サタケ同値は、複素数以外の係数、例えばK理論や楕円コホモロジーでは、単純な対応ではなく、対応する「次数付き」圏の1パラメーター退化を通してのみ現れる。

要約

幾何学的サタケ同値の彩色収差

この論文は、複素数体上の連結、概単連結、ほとんど単純な代数群 G のアフィン・グラスマンニアン GrG 上の同変層の圏と、G のラングランズ双対群に関連する様々なスタック上の準連接層の圏との間の関係を探求しています。

論文はまず、古典的な導来幾何学的サタケ同値とArkhipov-Bezrukavnikov-Ginzburg同値を概説し、それらの正則軌跡上の対応物について述べています。

次に、同変一般化コホモロジーの枠組みを導入し、コンパクトアーベル群 Tc と有限 Tc 空間 X に対して、"向き付けられた" 1次元可換群スキーム G を備えた E∞ 環 k に対する X 上の k 加群の同変局所系 の圏 LocTc(X; k) を定義しています。

論文の中心的な結果は、k が 2 周期的な有理コホモロジー Q[u±1]、複素 K 理論 KU、または楕円コホモロジーのいずれかである場合、Tc 同変局所系の圏 LocTc(GrG; k) が、ラングランズ双対群に関連する特定のスタック上の準連接層の圏への 1 パラメータ退化 Locgr
Tc(GrG; k) を持つことを示しています。

具体的には、k = Q[u±1] の場合、Locgr
Tc(GrG; k) は eˇg
′,reg/ ˇG 上の準連接層の圏と同値であり、k = KU の場合、Locgr
Tc(GrG; k) は eˇG
reg
/ ˇG 上の準連接層の圏と同値であり、k が楕円曲線 E を持つ楕円コホモロジーである場合、Locgr
Tc(GrG; k) は Bun0
ˇB(E)reg 上の準連接層の圏と同値です。

これらの同値は、一般化された同変ホモロジーと一般化されたワイル代数の関係、アフィン空間の余接束のアフィン閉包上のGelfand-Graev作用の乗法的および楕円版、べき演算と導来幾何学的サタケの相互作用、Brylinski-Zhangの仕事との関係、Hopkins-Kuhn-Ravenelの仕事との類似性など、多くの興味深い結果を導きます。

統計

引用

抽出されたキーインサイト

Chromatic aberrations of geometric Satake over the regular locus

by Sanath K. De... 場所 arxiv.org 11-14-2024

https://arxiv.org/pdf/2303.09432.pdf

深掘り質問

幾何学的サタケ同値のこの「次数付き」版は、表現論の他の設定、例えばモジュライ空間の幾何学や量子群の表現論にどのような応用がありますか？

次数付き幾何学的サタケ同値は、アフィン・グラスマンニアン上の層の圏と、ラングランズ双対群のリー代数の余随伴表現のモジュライ空間上の層の圏の間に同値を与える強力なツールです。この同値は、表現論の他の設定、特にモジュライ空間の幾何学や量子群の表現論において、多くの応用や関連性を持ちます。
モジュライ空間の幾何学:

ベクトル束のモジュライ空間: 次数付き幾何学的サタケ同値は、曲線上のベクトル束のモジュライ空間の構造を理解するために使用できます。特に、モジュライ空間のコホモロジーやK理論を、ラングランズ双対群の表現論の観点から記述することができます。
ヒルベルトスキーム: ヒルベルトスキームは、代数多様体の点の有限部分集合をパラメータ化する空間であり、表現論において重要な役割を果たします。次数付き幾何学的サタケ同値は、ヒルベルトスキームの次数付きバージョンを構築し、その幾何学的および表現論的性質を研究するために使用できます。
クーロン枝: クーロン枝は、4次元超対称ゲージ理論の真空のモジュライ空間であり、表現論と深い関係があります。次数付き幾何学的サタケ同値は、クーロン枝の量子化を理解し、その次数付きK理論を計算するために使用できます。
量子群の表現論:

次数付き表現: 次数付き幾何学的サタケ同値は、量子群の次数付き表現の圏と、ラングランズ双対群のリー代数の余随伴表現の次数付きモジュライ空間上の層の圏の間に同値を与えます。
結晶基底: 結晶基底は、量子群の表現論における重要な組み合わせ論的オブジェクトであり、次数付き幾何学的サタケ同値を使用して幾何学的に理解することができます。
圏化: 次数付き幾何学的サタケ同値は、量子群の表現の圏の次数付きバージョンを構築し、その構造と性質を研究するために使用できます。
これらの応用に加えて、次数付き幾何学的サタケ同値は、表現論の他の分野、例えば幾何学的ラングランズ対応やミラー対称性とも関連しています。

論文では、k が複素向き付け可能で 2 周期的な場合の退化 Locgr

Tc(GrG; k) に焦点を当てています。k がこれらの条件を満たさない場合、例えば、k が実 K 理論または接続された K 理論である場合、対応する状況はどうなりますか？
論文では、主に複素向き付け可能で2周期的な一般コホモロジー論k（例えば、有理コホモロジー、複素K理論、楕円コホモロジー）に焦点を当て、退化版 Locgr_Tc(GrG; k) を考察しています。これは、これらの場合、kが形式群の理論と結びつき、計算が容易になるためです。
しかし、kが実K理論KOや接続K理論koのように、複素向き付け可能でも2周期的でもない場合、状況はより複雑になります。

実K理論(KO): KOは複素向き付け可能ではありませんが、複素K理論KUとの関係を通して理解することができます。具体的には、KOはKUの複素共役によるZ/2作用のホモトピー固定点として得られます。この事実を用いることで、Locgr_Tc(GrG; KO) を、Locgr_Tc(GrG; KU) の適切な「Z/2作用による商」として定義することができます。
接続K理論(ko): koは2周期的ではなく、Bott周期性を持たないため、さらに複雑です。Locgr_Tc(GrG; ko) の適切な定義は、koの「次数付け」を考慮する必要があり、現時点では完全には理解されていません。
これらの場合、ラングランズ双対側の対応物もより複雑になります。例えば、実K理論の場合、双対側のスタックは複素共役によるインボリューションを持つことになります。
一般に、kが複素向き付け可能でも2周期的でもない場合、Locgr_Tc(GrG; k) の定義やそのラングランズ双対側の対応物の記述は、kの具体的な構造に依存し、更なる研究が必要です。

幾何学的サタケ同値のこの「次数付き」版は、ミラー対称性の文脈、特にシンプレクティック多様体のミラー対称性とどのように関係していますか？

次数付き幾何学的サタケ同値は、ミラー対称性の文脈、特にシンプレクティック多様体のミラー対称性と密接に関係しています。

ミラー対称性と導来圏: ミラー対称性は、シンプレクティック多様体とそのミラー多様体との間の関係を記述する予想であり、その一側面として、一方の導来圏と他方の深谷圏の導来圏の間に同値が存在すると予想されています。
次数付き幾何学的サタケ同値と深谷圏: 次数付き幾何学的サタケ同値は、アフィン・グラスマンニアン上の層の圏を、ラングランズ双対群のリー代数の余随伴表現のモジュライ空間上の層の圏に関連付けます。この後者の圏は、適切な設定の下で、深谷圏と密接に関係することが知られています。
ミラー対称性の証明への応用: 次数付き幾何学的サタケ同値は、特定のシンプレクティック多様体とそのミラー多様体との間のミラー対称性を証明するために使用できます。具体的には、次数付き幾何学的サタケ同値を用いることで、一方の導来圏と他方の深谷圏の導来圏の間に明示的な同値を構成することができます。
例えば、Nadler-Zaslowのプログラムは、次数付き幾何学的サタケ同値を用いて、アフィン・グラスマンニアンの深谷圏を、そのミラー多様体の深谷圏に関連付けることを目指しています。
さらに、次数付き幾何学的サタケ同値は、ミラー対称性の文脈におけるホモロジカルミラー対称性予想の理解にも役立ちます。この予想は、ミラー対称性を、深谷圏のA無限大構造にまで拡張するものであり、次数付き幾何学的サタケ同値は、この構造を理解するための強力なツールを提供します。
要約すると、次数付き幾何学的サタケ同値は、ミラー対称性、特にシンプレクティック多様体のミラー対称性と密接に関係しており、ミラー対称性の証明やホモロジカルミラー対称性予想の理解に貢献しています。